転がるとき全ての面が地面に接する幾何学立体【オロイド】と【スフェリコン】

𝕏のとあるポストで「オロイド」という面白い立体を知り、🔍したら…
👉オロイド｜Wikipedia に数学的な解説がありますが、
読み物として面白かったのは、ナゾロジーの記事👇
転がるとき”全ての表面が地面に接する”不思議な幾何学立体「オロイド」

👆この記事を読んでいて思い出した…
そういえば～
オロイド（Oloid）に似た
スフェリコン（Sphericon）を、日経サイエンス 2000年1月号 数学レクリエーション「円錐をひとひねりしたら」を見て作っていたのだが… 26年も前のペーパークラフトあるかな？
発掘したら… あった～‼😃

頂角90°の円錐（直角二等辺三角形を回転させてできた円錐）を２つくっつけ、
２つの円錐の頂点を結ぶ平面で分割すると、断面は正方形になります。これを90°回転させてくっつけると「スフェリコン」✌

「スフェリコン」🔍したら…
『正方形の対角線を軸に回転させてできる立体を半分にし、90度ねじって貼り合わせた、1枚の曲面で構成される特殊な多面体』👈こっちの説明の方が分りやすいな。出典🔗幾何学おもちゃ

オロイドもスフェリコンも「転がるとき全ての面が地面に接する」ので、展開図は折線の無い一続きの面です。
オロイドの展開図はWikipediaにあります。
スフェリコンの展開図は👇この様になります。

これだとツチノコにみえてしまう人もいるし😅 作り方が分らないので、
ペーパークラフトととして作るために「のりしろ」を付け、スフェリコンの展開図が４つの扇形をつなげたものだと分るように補助線などを加えたのが👇

円弧の部分に「のりしろ」はなく、円弧の端を接着剤だけで接合するという高度な技を必要とします💧

この不思議な形の展開図を組み立てて、不思議な形の立体を作り、転がすと「不思議だね～」で終わってしまう💧
不思議に出会ったときは「なぜ？」かを理解したいので、
２つの円錐と、それをくっつけて２つの円錐の頂点を結ぶ平面で分割した立体を２つ作り、
「なるほどね～」と納得していた26年前の私がいたんだね～😅

26年ぶりにスフェリコンに出会って、これ幾何学工作アイテムとしてどうよ？ と思ったので🔍してみた。
そしたら、とても参考になるページがありました。

👉坂道くねくねスフェリコン｜青少年のための科学の祭典 大阪大会 2025｜大商学園高等学校 科学研究部 井畑智子[PDF]
『円錐を二つ作ります。底面どうしを貼り合わせます。それぞれが真っ二つになるように底面に垂直に切ります。…というのが理想ですが、難しいので…』👈だよね～‼ では、理想と現実の狭間をどうしたのでしょうか？
YouTubeに作り方の動画があった！👉坂道くねくねスフェリコン｜Daisho Science
なるほど～！ 正方形の底面をベースに、そこに円錐の半分の側面を２つ貼るのか！ これを２つ作れば、円錐を２つくっつけた「そろばん玉」の形を確認したあとで、正方形の底面を90°回転させて「スフェリコン」ということが分るね！👏👏
すごいゾ！大商学園高等学校 科学研究部 👈しかし部員が少ないのね💧 ガンバレ！科学研究部😃

👉ころがるふしぎなかたち ～スフェリコン等高重心立体｜愛媛県総合科学博物館

👉等高重心立体｜GeoGebra
オロイドをCDを２枚組合せて作ってる！ 👈これイイね😃
スフェリコンもCDを２枚組み合わせ＆直角にカットして作ってる！
GeoGebra（ジオジェブラ：Geometory＋alGebra）というアプリも面白そうだ。（あとで見ておこう）

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発見年と発見者
・オロイド：1929 Paul Schatz（パウル・シャッツ）ドイツの彫刻家、数学者
・スフェリコン：1969 Colin Roberts（コリン・ロバーツ）イギリスの家具職人※
※オロイドの発見からスフェリコンの発見まで40年も経っている。
半径ｒの直交する２枚の円盤の中心の距離をｒ(オロイド)→ 0(スフェリコン)に縮めるのに40年か～

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名前の由来
・Sphericon（スフェリコン）
　球を意味する英語の「sphere」と、円錐を意味する「cone」を組み合わせた造語
・Oloid（オロイド）
2つの有力な説がある。
1. ギリシャ語の「olos（すべて、全体）」に由来する説
2. 命名者による短縮名という説 👈こちらの方が有力らしい
　発見者のパウル・シャッツは当初この立体を「ポリソマトロイド（polysomatoloid）」と呼んでいたが、この名前は発音しにくいと考えた彼は、半ば冗談で「オロイド（oloid）」に短縮したと言われています。
じゃぁ「ポリソマトロイド（polysomatoloid）」は何の造語？
poly-（多くの）＋ soma（体）＋ -logy（学問）＋ -oid（～のようなもの）🤔？

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※スフェリコンの展開図の扇形の中心角の求め方
円錐を展開したときできる扇形の中心角は 360°×ｒ／Ｒ
ｒ：円錐の底面の円の半径
Ｒ：円錐の母線の長さ
スフェリコンの扇形の Ｒ＝√2 ｒ （１辺ｒの正方形の対角線）
スフェリコンの扇形は円錐の半分だから
　180°×ｒ／Ｒ
＝180°×ｒ／√2 ｒ
＝180°／√2
＝90°×√2 ≒127°

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※Sphericon｜Wikipedia(英語版) には発見者のコリン・ロバーツについて“carpenter Colin Roberts”「大工」と記されていますが、その出典：Stewart, Ian (October 1999). "Mathematical Recreations: Cone with a Twist". Scientific American. Archived には
“he started work as a joiner's apprentice”
「彼は家具職人の見習いとして働き始めた」と記されています。
carpenter ではなく joiner です。
スフェリコンみたいな物を木材を削って作る人のキャリアとしては「大工」より「家具職人」の方が納得ですね。

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“Developable roller”が「転がるとき全ての面が地面に接する」だって！？
オロイド｜Wikipedia には
『オロイドの表面は可展面であり、展開すると平面となる。』と記されており
「可展面」は英語で“developable surface”
『また、可展面が一続きの輪となっているため、転がるとき全ての面が地面に接する（英語版）性質を持つ。』とも記されていて、
「転がるとき全ての面が地面に接する」のリンクは「存在しないページ」💧
（英語版）のリンク先は
👉Developable roller｜Wikipedia英語版
ということは“Developable roller”の日本語訳が「転がるとき全ての面が地面に接する」になるのだが、ダサいね💧
“developable surface”が「可展面」なら
“Developable roller”は「可展転体」？ん～🤔 「可展体」でどうよ？
𝕏のGrokに「“developable surface”が「可展面」なら、“developable roller”の日本語訳は何？」と質問したら…
『「可展面」の訳に準じて「可展ローラー」が最も直訳に近く、自然です。』なるほど！
“roller”をむりやり訳そうとせず「ローラー」のまま使えばいいのか！💡

黒いコイルに赤糸威の正20面体を編む

あけましておめでとうございます🎍
今年の「あけおめ」ブログは、久々の「作る」カテゴリーの記事で

黒いコイルに赤糸威（あかいとおどし）の正20面体です。

赤糸威（あかいとおどし）とは『日本の甲冑（鎧）において、赤い色の組紐（威毛）で小札（こざね）を編み上げて仕立てる技法や、その赤い糸で仕立てられた甲冑そのものを指します』が、黒いコイルを正20面体に編むのに使っているのは赤いテグスです😅

この黒い金属製のコイルは…

…だいぶ昔（十数年前）にストロー正20面体を竹ビーズで作ろうとして、貴和製作所で見つけたもの。
黒い金属製のコイルに赤い紐で正20面体を編んだら『赤糸威』みたいでカッコイイよね😃と思って買っておいた。
それを十数年たってから作ろうとしているのは、只今「色々片付け月間」で（去年の内に片付け終わらせる予定が、元旦に始めることになりました💧）で、「こんなものあったんだ～」と発掘して「捨てるにはもったいない」ものは使って消化しましょう！ってことで…

十数年前に黒いコイルと一緒に買っていた赤い紐は…

…赤ではなく橙色でした💧 しかも、黒いコイルの穴の中を２回紐を通すのだが、紐が太くて２回通せない！👈そんなこと買う前に/買ったらすぐに確認しとけよ！ と昔の自分に反省しつつ…

赤い紐の代わりに、赤いテグス（６号）で編みます。
編み方はこちら👉ストロー正20面体
テグスだと、この黒いコイルの太さに比べて細いので『赤糸威』ぼさがあまりないのが残念です😅
でも、まぁ…

…黒いコイルの金属光沢に（細いけど）赤いテグスがクール😃

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今年は、博物マニア、博物ふぇすてぃばる！のテーマを『正多面体を編む』にするので、これから色々な素材で正多面体を編んでみます。

※『正多面体を編む』というフレーズは前々から意識していたのですが、
去年NHKドラマ『舟を編む』を見て感動したので、来年は『正多面体を編む』でいこう！と思ったんです😊

ビーズボール６個、12個、30個（ビーズ正多面体）の作り方（編み方）

丸ビーズに一本のテグスを通してビーズボールを編むことができます。このボールは正多面体に相当する立体になっています。正多面体は５種類ありますが、丸ビーズで作るのにお薦めの３種類（正４面体、正６面体、正12面体）の編み方の「まとめ」です。

正多面体をビーズで編むと、ビーズは正多面体の辺に位置します。
正４面体の辺は６本なので、ビーズは６個
正６面体の辺は12本なので、ビーズは12個
正12面体の辺は30本なので、ビーズは30個です。

で、丸ビーズ６個、12個、30個のビーズホール（ビーズ正多面体）の編み方は👇こうなります。

正多面体は対称性・規則性に富んだ立体なので、それを編む手順も規則的なものとなっています。
この手順は正多面体を編む「アルゴリズム」とも言えます。※

この 〇×●〆記号だけだと、ちょっと分りにくいので丸ビーズ６個の編み方を図解しますね。

①②➂は平面状態なので図解するのに問題ないのですが、④でボール状に立体になるので図解するのが難しくなります。
これが、ビーズ12個、30個になると図解するのが困難になる💧

ビーズ手芸ではビーズとテグスの通しかたを「レシピ」という図で示します。ビーズボールの様な立体を紙(平面)に描くには、立体を展開図にするように、ビーズボールを平面に広げてテグスの通し方を示すようです。
丸ビーズ６個、12個、30個の「レシピ」を描いてみました。

黒と赤の線はテグスの左右です。中央で黒と赤の線が繋がっている所が開始点です。△矢印がある所までが１回の操作です。

で、このレシピを見て作るのは（初心者には）難しいよね～💧
頭の中がスパゲッティーになるよね～😅

ビーズボールを「レシピ」という図で示すと、ビーズボール６個、12個、30個に共通する規則性が見えてきません。
一方、ビーズボールを編む操作を 〇×●〆という記号にシンボル化・抽象化することで、ビーズボール６個、12個、30個に共通する規則性が見えてくるんです！
これはビーズボールだけでなく、５種類の正多面体に共通する規則性です。
そして、その規則性に気づくと応用がきくんです。👇こんな風に…
ビーズ正多面体ストラップ（色々）

グラデーションかごめボール…丸ビーズ360個の正20面体

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※ビーズボールを編むアルゴリズムをプログラム風に書くと👇こんな感じ🤖

# 正多面体を構成する正多角形を正p角形とする
match 作りたい正多面体:
　case 正４面体:
　　p = 3
　case 正６面体:
　　p = 4
　case 正12面体:
　　p = 5
# テグスの初期状態は左右に伸びている
while テグスが左右に広がっている: # 左右のテグスが１箇所に集まるまで
　b = p - テグスを左右に引っ張ったときに間にあるビーズの数
　b個のビーズをテグスの右側から通す
　最後に通したビーズに左側からテグスを通しクロスさせる
　while (クロスしたテグスの出口に)ビーズが３個集まったら:
　　まだテグスが1回しか通っていないビーズにテグスを通す
　テグスを左右に引っ張る
# 左右のテグスが１箇所に集まった状態
テグスを本結びで結ぶ
結んだ後のテグスの端をもう一度ビーズに通す
余ったテグスは切り落とす # 完成

👆ビーズボールを編むロボットにはもっと厳密で詳細なプログラムが必要ですが、
プログラマ以外の人に伝えるにはプログラム形式では伝わりにくいので😅
👇こういう風に伝えてます。

これを、ふしぎ発見科学教室（2013）で行ったときの小学生の感想は「意外と簡単じゃん」でした😊

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2004年にストロー正20面体の編み方を編み出して以来、科学教室やイベントでストロー/ビーズ正多面体を作る講座/ワークショップを幾度どなくやってきたのですが、去年（2024年）やったワークショップで『ビーズ正多面体（ビーズボール）の作り方…エッセンス（本質）を伝えるか、手順を伝えるか？』20年間やってきた教え方を変えるべきかも🤔と思うところがあり、この記事はその見直しの「まとめ」です。2025/07/22にこの見直した教え方でワークショップやってきます。目指せ！参加者全員ビーズボール６個、12個、30個 完成😃

が、しかし・・・
2025/07/22 ビーズ正多面体（ビーズボール）の作り方…手順を伝えるのではダメだった 💧

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※丸ビーズで作るのに（正４面体、正６面体、正12面体）の3種類をお薦めする理由は、
正８面体と正20面体は丸ビーズで作ると潰れるからです😅
正８面体、正20面体を作るなら、ストローで作るのがお薦めです。
そして、ストローで作るときは👇こうなります😊

👆これは『ヒンメリカフェ』…東芝未来科学館でサイエンスカフェ（2015）のときのスライド
2014青少年のための科学の祭典 東京大会in小金井「ストローとゴムひもで作る正多面体」でストロー正20面体まで作った子：50人

丸ビーズ30個のビーズボール【ビーズ正12面体】の作り方（編み方）

丸ビーズ30個をテグスで編んで「ビーズボール」を作ることができます。

👆これが丸ビーズ30個のビーズボールの作り方です。
記号の説明：
○　テグスに新しいビーズを通します。
×　最後のビーズに反対側からテグスを通しクロスさせます。
●　まだテグスが1回しか通っていないビーズにテグスを通します。
〆　左右のテグスが一箇所に集まったら、テグスをかたく結んで、結んだ後のテグスの端をもう一度ビーズに通します。そして余ったテグスは切り落として完成です。
👆この記号はストロー正20面体を作っていて独自に編み出したものです。
丸ビーズ30個のビーズボールはビーズの中を通るテグスが正12面体に相当する形になっています。だから「ビーズ正12面体」です😊

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ビーズ手芸ではビーズとテグスの通しかたを「レシピ」という図で示します。ビーズボールの様な立体を紙(平面)に描くには、立体を展開図にするように、ビーズボールを平面に広げてテグスの通し方を示すようです。
丸ビーズ６個→12個に引き続き、丸ビーズ30個の「レシピ」を描いてみました。※

黒と赤の線はテグスの左右です。中央で黒と赤の線が繋がっている所が開始点です。△矢印がある所までが１回の操作です。
丸ビーズ30個のビーズボールは構造的には正12面体です。 正12面体は正五角形12面で構成されます。 ですから、丸ビーズ５個を輪にして五角形を作り、五角形を12作ります。 ①～⑫は12面の番号で、この順に五角形を作っていきます。⑫は図の外側にありますが、これは丸い立体を平面に展開しているからです。

で、このレシピを見て作るのは（初心者には）難しいよね～💧
頭の中がスパゲッティーになるよね～😅
でも、この手順を〇×●〆記号で書き出すと…

① 〇〇〇〇〇×
② 〇〇〇〇×
➂ ●〇〇〇×
④ ●〇〇〇×
⑤ ●〇〇〇×
⑥ ●●〇〇×
⑦ ●〇〇〇×
⑧ ●●〇〇×
⑨ ●●〇〇×
⑩ ●●〇〇×
⑪ ●●●〇×
⑫ ●●●●〆

👆たった12行！ こんなにシンプル😊
〇はテグスに新しいビーズを通すので、〇ビーズは30個
１個のビーズの中にはテグスが２回通るので、2回目の×または●は合計30
ビーズ５個で五角形を作り、五角形を12作るので、12回の操作でできあがり。👈こういう風に上の記号を読むと、ただの記号の羅列ではなく、作り方の規則性が読み取れますよね。
レシピという図から読み取ることが難しい規則性が、記号化することで見えてきました！
これが、「抽象化思考」「論理的思考」「アルゴリズム」そして「数学」に共通するものなのです。
ビーズボールを作るには数学的思考が必要で、作り方が「わかった！」状態になると、丸ビーズ６個→12個→30個が「意外と簡単じゃん」となります😊

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※ビーズボール（丸ビーズ30個）のレシピは2013年に描いてブログに載せていたのですが、そのときのファイルを探したら…パワポじゃなくてWord（拡張子が.docx じゃなくて .doc）だった💧 その図形データをちょっと手直しするために、パワポにコピペしようとしたのだが… 図形データとしてコピペできない＝編集できない😱
６個、12個のレシピをパワポで描いたついでなので（図形編集しやすさを考慮して）パワポで描き直した。丸一日かかったよ💦

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まとめ
2025/06/30 ビーズボール６個、12個、30個（ビーズ正多面体）の作り方（編み方）

丸ビーズ12個のビーズボール【ビーズ正６面体】の作り方（編み方）

丸ビーズ12個をテグスで編んで「ビーズボール」を作ることができます。

👆これが丸ビーズ12個のビーズボールの作り方です。
記号の説明：
○　テグスに新しいビーズを通します。
×　最後のビーズに反対側からテグスを通しクロスさせます。
●　まだテグスが1回しか通っていないビーズにテグスを通します。
〆　左右のテグスが一箇所に集まったら、テグスをかたく結んで、結んだ後のテグスの端をもう一度ビーズに通します。そして余ったテグスは切り落として完成です。
👆この記号はストロー正20面体を作っていて独自に編み出したものです。
丸ビーズ12個のビーズボールはビーズの中を通るテグスが正６面体（立方体）に相当する形になっています。だから「ビーズ正６面体」です😊

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ビーズ手芸ではビーズとテグスの通しかたを「レシピ」という図で示します。ビーズボールの様な立体を紙(平面)に描くには、立体を展開図にするように、ビーズボールを平面に広げてテグスの通し方を示すようです。
丸ビーズ６個に引き続き 丸ビーズ12個の「レシピ」を描いてみました。

黒と赤の線はテグスの左右です。中央で黒と赤の線が繋がっている所が開始点です。△矢印がある所までが１回の操作です。
丸ビーズ12個のビーズボールは構造的には正６面体（立方体）です。 正６面体は正四角形（正方形）６面で構成されます。 ですから、丸ビーズ４個を輪にして四角形を作り、四角形を６つ作ります。 ①～⑥は６面の番号で、この順に四角形を作っていきます。⑥は図の外側にありますが、これは丸い立体を平面に展開しているからです。

で、これに 〇×●〆記号の手順を書き込むと

そして記号だけを書き出すと…

① 〇〇〇〇×
② 〇〇〇×
➂ ●〇〇×
④ ●〇〇×
⑤ ●●〇×
⑥ ●●●〆

👆たった６行！ こんなにシンプル😊
〇はテグスに新しいビーズを通すので、〇ビーズは12個
１個のビーズの中にはテグスが２回通るので、2回目の×または●は合計12
ビーズ４個で四角形を作り、四角形を６つ作るので、６回の操作でできあがり。👈こういう風に上の記号を読むと、ただの記号の羅列ではなく、作り方の規則性が読み取れますよね。
レシピという図から読み取ることが難しい規則性が、記号化することで見えてきました！
これが、「抽象化思考」「論理的思考」「アルゴリズム」そして「数学」に共通するものなのです。
ビーズボールを作るには数学的思考が必要で、作り方が「わかった！」状態になると、丸ビーズ６個→12個→30個が「意外と簡単じゃん」となります😊

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まとめ
2025/06/30 ビーズボール６個、12個、30個（ビーズ正多面体）の作り方（編み方）

丸ビーズ６個のビーズボール【ビーズ正４面体】の作り方（編み方）

丸ビーズ６個をテグスで編んで「ビーズボール」を作ることができます。

👆これが（丸ビーズ６個）の作り方です。

記号の説明：
○　テグスに新しいビーズを通します。
×　最後のビーズに反対側からテグスを通しクロスさせます。
●　(クロスしたテグスの出口に)ビーズが３個集まったら、まだテグスが1回しか通っていないビーズにテグスを通します。
〆　左右のテグスが一箇所に集まったら、テグスをかたく結んで、結んだ後のテグスの端をもう一度ビーズに通します。そして余ったテグスは切り落として完成です。

👆この記号はストロー正20面体を作っていて独自に編み出したものです。
丸ビーズ６個のビーズボールはビーズの中を通るテグスが正４面体に相当する形になっています。だから「ビーズ正４面体」です😊

ビーズボール（丸ビーズ６個）の編み方を図示すると👇こうなります。

①②➂まではいいのですが、④になるとビーズが立体になり重なるので、平面の図で示すのが難しくなります。
これが、丸ビーズ12個→30個と増えていくと、このように図示することができなくなります。
そこで、立体を展開図にするように、ビーズボールを平面に広げてテグスの通し方を示す「レシピ」というものがビーズ手芸の世界にはあるようです。

ビーズボール（丸ビーズ６個）のレシピは
👇こうなります。

黒と赤の線はテグスの左右です。中央で黒と赤の線が繋がっている所が開始点です。△矢印がある所までが１回の操作です。
ビーズボール（丸ビーズ６個） は構造的には正４面体です。 正４面体は正三角形４面で構成されます。 ですから、丸ビーズ３個を輪にして正三角形を作り、正三角形を４つ作ります。 ①～④は４面の番号で、この順に正三角形を作っていきます。④は図の外側にありますが、これは丸い立体を平面に展開しているからです。

👆このレシピを見て、ビーズ手芸に慣れた人なら作れるんでしょうが、初心者にはイミフですよね～💧
レシピの見方の説明を受けても、レシピを読み解くのが難しい。
これ見て作るときは「今どこまでやった？」か分るように、ラインマーカーで線をなぞっておかないと頭の中がスパゲッティーになります😅

正多面体クラブではこれまで小学生を対象とした科学教室/ワークショップでビーズ正多面体作りをしていますが、そのときに示す手順は最初に示した 〇×●〆の記号を使ったものです。（再掲）

実は、これをさらに抽象化した「２つのルール」👇を示してましたが、

これだと、６個は作れるんですが、12個→30個と増えていくと、だんだんと｛あれ～？💧」という状況が頻発するので、去年のワークショップの反省『初心者に最初にエッセンス（本質）を伝えるのって、初心者にいきなり「奥義」を伝えるような無理があったのかな😅』から、 〇×●〆記号の手順で、６個→12個→30個とステップアップしていく中で「２つのルール」を発見してもらうという目論みで、ビーズボール（ビーズ正多面体）の作り方（編み方）の手順をブラッシュアップしているところです😊

レシピの図に〇×●〆記号の手順を書き込むと👇こうなります。

👆１個のビーズの中にはテグスが２回通ります。
個々のビーズに対する操作は、〇× か 〇● かのどちらかになります。
これで手順が分りやすくなるわけじゃありませんけど💧

〇×●〆記号だけでビーズボール（６個）の手順を書き出すと…

① 〇〇〇×
② 〇〇×
➂ ●〇×
④ ●●〆

👆たった４行になるんです！
これが、物事を抽象化しシンボル化して理解すること＝「抽象化思考」の「力」だと思います。そして、抽象化思考と数学は密接に関連しています。
また、この４行はビーズボール（６個）を編む「アルゴリズム」です。
ビーズボールの編み方をレシピという図で示すと、そこに「数学」が潜んでいることに気づきませんが、抽象化し論理的に物事をとらえると、そこに「数学」があった！と気づくのです。👈これが、ビーズボール作りを通して伝えたいことなんです😊

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※関連記事
2004/12/19 ストロー正20面体
2009/02/08 ストロー正多面体
2009/02/10 ビーズ正多面体ストラップ
2012/07/25 ビーズ正多面体ストラップ（色々）
2013/04/13 グラデーションかごめボール…丸ビーズ360個の正20面体
2013/10/09 ビーズボールの作り方（丸ビーズ 6個，12個，30個）
2013/10/10 ビーズボール（丸ビーズ30個）のレシピ（作り方）
👆
これを見ると、ストロー/ビーズ正多面体の作り方の歩みが分るね～😅
2004年にストロー正20面体の作り方を書いて、
2009年にビーズに適用
2013年にビーズボールで盛り上がり…
2025年（12年ぶりに）ちょっと集中してみます😃
そのきっかけになったのが👇
2024/11/06 ビーズ正多面体（ビーズボール）の作り方…エッセンス（本質）を伝えるか、手順を伝えるか？
まとめ
2025/06/30 ビーズボール６個、12個、30個（ビーズ正多面体）の作り方（編み方）

【ダ・ヴィンチの星】ペーパークラフトを作ろう＠川口市立科学館

ダ・ヴィンチの星 とは『正多面体の各面に、側面が正三角形の正多角錐を貼り合わせた立体』で、ルカ・パチョーリの著書 De Divina Proportione（神聖比例論）にレオナルド・ダ・ヴィンチが挿絵を描いており、それで『ダ・ヴィンチの星』と呼ばれるようです。

川口市立科学館で特別展「科学の眼を持った天才～レオナルド・ダ・ヴィンチの発明と未来への夢～」が開催されており、それにあわせて特別ワークショップが毎週実施されています。この特別ワークショップの講師募集の話が縁あって私のところにもきまして…
レオナルド・ダ・ヴィンチと関連する正多面体ネタはあるか？
「レオナルド・ダ・ヴィンチ 正多面体」で🔍したら⇒ ダ・ヴィンチの星｜Wikipedia が出てきた。
お、これイイじゃん！ ダ・ヴィンチの星の一つ『正八面体の各面に正四面体を貼り付けた立体』なら、2004年にペーパークラフトを作り、2005年のイベントで100人に作ってもらった実績がある。作り方もブログに載せてるし、これならいけるな！ということで、1/11(土)のワークショップで「ダ・ヴィンチの星」ペーパークラフトを作ろう の講師をしてきました。

「ダ・ヴィンチの星」は、星型八面体であり、ケプラーの八角星でもあります。色々な名称がありますが、2004年にペーパークラフトを作ったとき独自に「８角星」と呼び、その後 ストローで「20角星」「60角星」「12角星」など「〇〇角星」シリーズを作っているので、以下「８角星」と記します🌟

20年ぶりに８角星ペーパークラフトを作るワークショップをやるなら、新しくやってみたいことが一つ…
８角星（星型八面体）の頂点を繋ぐと立方体になります。
８角星を👇こっち方向じゃなくて…

👇こっち方向から見ると…

…正方形になっているので、８角星の頂点を繋ぐと立方体になることは何となく分るのですが、
透明な立方体のケースに入れるとピッタリ収まることを示したい！
👇こんな風に

川口市立科学館のワークショップでは、作った８角星ペーパークラフトを立方体の透明ケースに入れてお持ち帰りしてもらいました。

８角星ペーパークラフトは私が作ると…

…このくらいピシッ！とした出来あがりになるのですが、小学生低学年の子が作ると中にはかなり「ざんねんな」出来あがりになることもある。これを家に帰って転がしておくと、やがてゴミになってしまうと予想されます💧 でも立方体の透明ケースに入れると、作品がグレードアップして見えます😃 これなら、暫くは机の上に飾ってくれそうです。そして、その子に「形の科学」への興味が芽生えてくれたらいいな🌱

ということで、８角星ペーパークラフトを立方体の透明ケースに入れるゾ！プロジェクト（年末に）始動😅
まずは、100均に行って探す…
👇seriaで見つけたクリアキューブ70

外寸：70mm、内寸：67㎜。８角星（外寸：55mm）を入れるとかなり隙間が空いてピッタリ！には程遠い💧

次はハンズへ
👇ミノルキューブ Sサイズ クリア×クリア

外寸：65mm、内寸：59㎜。８角星を入れたときの隙間は4mmで、振るとカラカラ動くが、かなりイイ

クリアキューブ70 は蓋式なのだが、ミノルキューブはスライド式なので、簡単に開かない（蓋がポロッと外れてしまうことがない）ところが良い👍

しかし、ミノルキューブS は418円 👈ワークショップの材料費としては高い💧
もう少し安いクリアキューブはないものか？ 🔍🔍… やっと見つけた！
光 プラBOX 307円
まだ高いが、これなら今回のワークショップの材料費でまかなえる。
外寸：65mm、内寸：59㎜、開閉はスライド式でミノルキューブSと同じ。
試しに１つ取り寄せてみるが、送料500円で、送料の方が高いよ～💧
で、モノは確認したので必要個数（42個）の大量発注！？ 👈今度は送料無料です😅
でも、その前にもう一つやることが…

キューブ（内寸：59㎜）とペーパークラフト（外寸：55mm）の差 4mmをもっと小さくし、ピッタリ！にする。👈これがなかなか難しい。
2004年に作ったペーパークラフトの型紙は、A4横の上下のマージンが5㎜ほどで、普通に印刷するにはギリギリのマージン。それを、もうちょっと…マージン1mmまで拡大すると…印刷が切れてしまう💧
どうする？🤔
そうだ💡「フチなし印刷」すればいいんだ！
そうして作った８角星ペーパークラフトはキューブにピッタリ収まりました😃

※まだ2mmほどの隙間がありますが、この隙間は必要です。ペーパークラフトですから出来あがりに1～2mmのズレは普通に出ます。そして、この隙間がないと出来あがったペーパークラフトがキューブの中に入らないよ～😢ということが起こってしまうので、必要な隙間（遊び）なのです。

では、その「フチなし印刷」前提の（内寸：59㎜）キューブにピッタリ収まる
▼８角星ペーパークラフトの型紙です。

👆クリックするとPDFが開きます。A4フォト光沢紙にフチなし印刷してお使いください。

20年ぶりに更新するので、作り方のページへのQRコードと、展示用の台も付け加えておきました。
レオナルドが描いた星型八面体（ダ・ヴィンチの星）は…

👆こっち向きで、ペーパークラフトも飾っておくときは そっち向きにして置くための展示台です。

展示台には「ダ・ヴィンチの星」「ケプラーの八角星」「星型八面体」の名前を印刷し、作ったペーパークラフトの名前を忘れないようにしてます。ついでに「正多面体クラブ」のPRもちょっと😅

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2025/02/11(火㊗) 特別展の最終日のワークショップは…
コーナーキューブを作って「ダ・ヴィンチの星」を見てみよう

60角星★竹ビーズ270本を１本のテグスで編む

あけましておめでとうございます。
今年のブログ初めは、
竹ビーズ270本を１本のテグスで編んだ『60角星』です🌟
10年ぶりに編みました😃
10年ぶりの経緯と詳しい編み方は👉60角星★ストロー270本を１本のゴムひもで編む
こちらに載せているのですが、この編み方でちゃんと編めるか？ 検証しておかなくてはなりません！
原理試作としては、色分けストローで「正12面体の正五角形の面を三角形に５分割した60面に三角錐を立てた立体」という構造が分るように作りましたが、

赤・白・青の色分けストロー製だとチープ感がありますので😅
お正月の多面体編み物ですので、キラキラ✨竹ビーズで編んでみました😊

竹ビーズは「二分竹」 10年前は金の竹ビーズで編んだので、今回は銀で✨
竹ビーズの本数：270本（正12面体の辺：30本、5分割の辺：12×5＝60本、60面に三角錐の辺：60×3＝180本）
テグスは6号👉この太さがお薦めの理由
テグスの長さ：５メートル（(二分竹：約7mm＋ビーズ間の隙間：約1mm)×270本×２往復＝4,320mm＋α予備）

できあがりの大きさは、直径約４cmぐらいになります。

60角星を編むには『20角星』を編むスキルが必要です。
初めて多面体編み物をする人は、正４面体→正20面体→20角星…とスキルアップしてからトライしてください。

これまでの経験値では、竹ビーズ１本につき約１分かかるので、270本＝270分＝4.5時間 かかります（慣れている場合）。まぁ、その倍 ９時間ぐらい見込んでおいてください😅
では、多面体編み物をお楽しみください😊

■編み方
ストロー正多面体の編み方を説明するために独自にあみ出した下記の記号で説明します。

○　右側のゴムひもに新しいストローを通します。
●　左側のゴムひもをゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
×　最後のストローに反対側からもゴムひもを通しクロスさせます。
△　左側のゴムひもに新しいストローを通します。
▲　右側のゴムひもをゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
■　右側のゴムひもを三角錐のゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
〆　ゴムひもを結んで完成です。

⟁　そこで三角錐ができることを示します（1～60）
★　そこで三角錐が５個集まることを示します（1～12）
＊　そこで三角錐が６個集まることを示します（1～20）

１ステップで三角形が１つできます。
３ステップで三角錐（正４面体）が１つできます。
60面に三角錐を立てるので、60×3＝180スッテップになります。

1: 〇〇〇×
2: 〇〇×
3: ●〇×　⟁1
4: 〇〇×
5: △△×
6: ▲〇×　⟁2
7: 〇〇×
8: △△×
9: ▲〇×　⟁3
10: 〇〇×
11: △△×
12: ▲〇×　⟁4
13: △△×
14: ■〇×
15: ●〇×　⟁5 ★1　1周
16: 〇〇×
17: △△×
18: ▲〇×　⟁6
19: 〇〇×
20: △△×
21: ▲〇×　⟁7
22: 〇〇×
23: △△×
24: ▲〇×　⟁8
25: △△×
26: ■〇×
27: ●〇×　⟁9 ＊1
28: 〇〇×
29: △△×
30: ▲〇×　⟁10
31: 〇〇×
32: △△×
33: ▲〇×　⟁11
34: △△×
35: ■〇×
36: ●〇×　⟁12 ＊2
37: 〇〇×
38: △△×
39: ▲〇×　⟁13
40: 〇〇×
41: △△×
42: ▲〇×　⟁14
43: △△×
44: ■〇×
45: ●〇×　⟁15 ＊3
46: 〇〇×
47: △△×
48: ▲〇×　⟁16
49: 〇〇×
50: △△×
51: ▲〇×　⟁17
52: △△×
53: ■〇×
54: ●〇×　⟁18 ＊4
55: 〇〇×
56: △△×
57: ▲〇×　⟁19
58: △△×
59: ■〇×
60: ●〇×　⟁20 ＊5　2周
61: 〇〇×
62: △△×
63: ▲〇×　⟁21
64: △△×
65: ■〇×
66: ●〇×　⟁22 ★2
67: 〇〇×
68: △△×
69: ▲〇×　⟁23
70: 〇〇×
71: △△×
72: ▲〇×　⟁24
73: △△×
74: ■〇×
75: ●〇×　⟁25 ＊6
76: △△×
77: ■〇×
78: ●〇×　⟁26 ★3
79: 〇〇×
80: △△×
81: ▲〇×　⟁27
82: 〇〇×
83: △△×
84: ▲〇×　⟁28
85: △△×
86: ■〇×
87: ●〇×　⟁29 ＊7
88: △△×
89: ■〇×
90: ●〇×　⟁30 ★4
91: 〇〇×
92: △△×
93: ▲〇×　⟁31
94: 〇〇×
95: △△×
96: ▲〇×　⟁32
97: △△×
98: ■〇×
99: ●〇×　⟁33 ＊8
100: △△×
101: ■〇×
102: ●〇×　⟁34 ★5
103: 〇〇×
104: △△×
105: ▲〇×　⟁35
106: 〇〇×
107: △△×
108: ▲〇×　⟁36
109: △△×
110: ■〇×
111: ●〇×　⟁37 ＊9
112: △△×
113: ■〇×
114: ●〇×　⟁38 ★6
115: 〇〇×
116: △△×
117: ▲〇×　⟁39
118: △△×
119: ■〇×
120: ●〇×　⟁40 ＊10　3周
121: 〇〇×
122: △△×
123: ▲〇×　⟁41
124: △△×
125: ■〇×
126: ●〇×　⟁42 ＊11
127: 〇〇×
128: △△×
129: ▲〇×　⟁43
130: △△×
131: ■〇×
132: ●〇×　⟁44 ★7
133: △△×
134: ■〇×
135: ●〇×　⟁45 ＊12
136: 〇〇×
137: △△×
138: ▲〇×　⟁46
139: △△×
140: ■〇×
141: ●〇×　⟁47 ★8
142: △△×
143: ■〇×
144: ●〇×　⟁48 ＊13
145: 〇〇×
146: △△×
147: ▲〇×　⟁49
148: △△×
149: ■〇×
150: ●〇×　⟁50 ★9
151: △△×
152: ■〇×
153: ●〇×　⟁51 ＊14
154: 〇〇×
155: △△×
156: ▲〇×　⟁52
157: △△×
158: ■〇×
159: ●〇×　⟁53 ★10
160: △△×
161: ■〇×
162: ●〇×　⟁54 ＊15
163: △△×
164: ■〇×
165: ●〇×　⟁55 ★11　4周
166: 〇〇×
167: △△×
168: ▲〇×　⟁56
169: △△×
170: ■〇×
171: ●〇×　⟁57 ＊16
172: △△×
173: ■〇×
174: ●〇×　⟁58 ＊17
175: △△×
176: ■〇×
177: ●〇×　⟁59 ＊18
178: △△×
179: ■〇×
180: ■■〆　⟁60 ＊19 ＊20 ★12

できあがり～🌟🎉

三角錐の頂点が黄色いのは、テグスが黄色いからです。
テグスは竹ビーズの中を2回通り、隣り合う竹ビーズを繋いでいるので、
頂点は👇こうなっています。

---

---

今回は、この手順でちゃんと編めるか⁉ 確認しつつ編んでいたので５時間ほどかかりましたが、そこで面白いこと発見しました。
手順を見ながら作っていると、ときどき間違えるんです💧
同じ操作を何度も繰り返していると（手順を確認するちょっとの時間を省こうと）次も同じ手順を繰り返し、ときどき出てくるいつもと違う手順を見落として間違える😅
それと、手順書見ながら作っていても面白くない。180スッテップもあると「修行」だな💧
やっぱ、多面体編み物はその立体の構造を頭に入れておいて、その構造を作るには…と考えながらやるのが楽しい。考えながら作っているときの「自分の脳が働いてるゾ！」感が心地よい😊
手順書見ながら（あまり考えずに）編んでいると、意識低下を起こしちゃうんだよね。

---

※60角星は「180スッテップもある！」けど、同じ操作を何度も繰り返します。
それは三角錐を編む…
〇〇×
△△×
▲〇×
…という操作です。
これをまとめて１ステップとして ⟁記号で示すと、180ステップが60ステップで表せます。
（プログラミングにおける関数呼び出しみたいなもんです）
でも、ときどき通常の三角錐とは違う編み方…
△△×
■〇×
●〇×
…これを ⟁ に ★または＊をつけて示します。
（プログラミングに例えると、関数呼び出しに引数を渡す。みたいな😅）
まぁ、とにかく60角星を編む操作を記号に置き換え抽象化すると、60ステップになるんです。
👇こうすると、何をしているのかが理解できるサイズになりますね😊

⟁1（最初はちょっと違う）
⟁2
⟁3
⟁4
⟁5 ★1　1周
⟁6
⟁7
⟁8
⟁9 ＊1
⟁10
⟁11
⟁12 ＊2
⟁13
⟁14
⟁15 ＊3
⟁16
⟁17
⟁18 ＊4
⟁19
⟁20 ＊5　2周
⟁21
⟁22 ★2
⟁23
⟁24
⟁25 ＊6
⟁26 ★3
⟁27
⟁28
⟁29 ＊7
⟁30 ★4
⟁31
⟁32
⟁33 ＊8
⟁34 ★5
⟁35
⟁36
⟁37 ＊9
⟁38 ★6
⟁39
⟁40 ＊10　3周
⟁41
⟁42 ＊11
⟁43
⟁44 ★7
⟁45 ＊12
⟁46
⟁47 ★8
⟁48 ＊13
⟁49
⟁50 ★9
⟁51 ＊14
⟁52
⟁53 ★10
⟁54 ＊15
⟁55 ★11　4周
⟁56
⟁57 ＊16
⟁58 ＊17
⟁59 ＊18
⟁60 ＊19 ＊20 ★12（最後もちょっと違う）

さらに大枠で見ると、60角星は三角錐を編む操作を５周します。
1周目：⟁5個　★１つ
2周目：⟁15個 ＊５つ
3周目：⟁20個 ＊５つ ★５つ
4周目：⟁15個 ＊５つ ★５つ
5周目：⟁5個 ＊５つ ★１つ

60角星のベースの60面体は正12面体の各面を5分割したものですから、★は12回出てきます。
正12面体の各面の中心を結んだ立体は正20面体になりますので、＊は20回出てきます。

これを編み方のルールとして記すと…

• ⟁(三角錐)5個で、★(五角形)を作ります
• ★(五角形)の頂点の周りには⟁6個で＊(六角形)を作ります
• ＊(六角形)の頂点に＊(六角形)を３つ並べると平面になって丸まらないので、★(五角形)にします
  ＊(六角形)の頂点の周りには＊(六角形)と★(五角形)が交互に３つずつならびます

👆ここまでまとめると、これは頭の中におさまります。そして、180ステップを覚えていなくても、編んでいると180ステップが湧き出してきます😃

60角星★ストロー270本を１本のゴムひもで編む

2015年の「あけおめ」ブログに
60角星★竹ビーズ270本を編んで作った180面体

を載せていたのですが、この記事に『60角星の「図式のようなレシピ」は無いでしょうか？』と、切実なコメントをいただきまして…
そのうち（年内）に60角星のレシピを載せようと思います。とお返事していたので、2024年内に60角星のレシピを載せるべく、師走になってようやく『60角星のレシピを載せるゾ！』プロジェクトを始動し、やっと60角星のレシピが書き出せました🎉

10年前に作ったときの手順なんて覚えてるわけありませんから😅 10年ぶりに作ってみます。頭で覚えてなくても手を動かすと思い出してくるのよね😊
手順は覚えていなくても、60角星の構造は理解しているから、そこから始めます。
正12面体の正五角形の面を（中心と頂点を結ぶ線で）三角形に５分割すると、12×5＝60面体になります。
この（三角形）60面に三角錐を立てると『60角星』になる。

10年ぶりに作るにあたっては👆この構造が分りやすいように色分けしたストローで作ります。
ストローの本数は…
・正12面体の辺：30本
・正12面体の面を5分割する辺：12×5＝60本
・60面に立てる三角錐の辺：60×3＝180本
合計270本です‼ 👈これだけのストローをハサミでチョキチョキ切るのが大変なのよ😅
竹ビーズで編むと切る手間は無いけど、270本全部が同じ長さになる。でも、自分で切るとストローの長さを変えられる。
今回は、せっかく作るんだから、60面体の各頂点が球面に接するジオデシックボールにしてみた⚽

■用意するもの

・赤いストロー：30mm 30本（正12面体の辺）
・白いストロー：27mm 60本（正12面体の面を5分割する辺）
・青いストロー：27㎜ 180本（60面に立てる三角錐の辺）
ストローを編むゴムひもの長さは…
(30×30＋27×60＋27×180)×2＝14,760mm＋予備で 16メートル
※ストローは直径4mmの細めの物を使っています。
※ゴムひもは2本丸という太さのもの。

■編み方
ストロー正多面体の編み方を説明するために独自にあみ出した下記の記号で説明します。
今回は3色のストローがありますので、それは記号の色で示します。

○　右側のゴムひもに新しいストローを通します。
●　左側のゴムひもをゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
×　最後のストローに反対側からもゴムひもを通しクロスさせます。
△　左側のゴムひもに新しいストローを通します。
▲　右側のゴムひもをゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
■　右側のゴムひもを三角錐のゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
〆　ゴムひもを結んで完成です。

⟁　そこで三角錐ができることを示します（1～60）
★　そこで三角錐が５個集まることを示します（1～12）
＊　そこで三角錐が６個集まることを示します（1～20）

１ステップで三角形が１つできます。
３ステップで三角錐が１つできます。
60面に三角錐を立てるので、60×3＝180スッテップになります。
これまでの経験値では、ストロー１本につき約１分かかるので、ストロー270本＝270分＝4.5時間 かかりますが、今回はゴムひもが長いのと手順を記録しながら（この記事を見て作る人は手順を見ながら）なので、その倍 ９時間ほどかかるでしょう💦
では、多面体編み物をお楽しみください😊

1: 〇〇〇×

最初の三角形は左右のゴムひもが同じ長さになる位置に作ります。今回はゴムひもが左右に8メートルもあるので、１回ストローに通すだけでも大変！ ゴムひもは絡むし、絡んだら解くのに手間かかるし💦

👆しかも、最初は 〇〇〇 なのに 〇〇〇 とストローの色を間違え😅 一度間違えると、それを直すのも大変💦💦

2: 〇〇×

3: ●〇×　⟁1

4: 〇〇×

5: △△× 👈これまでと逆方向に編みます

6: ▲〇×　⟁2

7: 〇〇×
8: △△×
9: ▲〇×　⟁3

10: 〇〇×
11: △△×
12: ▲〇×　⟁4

13: △△×

14: ■〇× 👈■操作は👇こうなります

15: ●〇×　⟁5 ★1　1周

16: 〇〇×
17: △△×
18: ▲〇×　⟁6

19: 〇〇×
20: △△×
21: ▲〇×　⟁7

22: 〇〇×
23: △△×
24: ▲〇×　⟁8

25: △△×
26: ■〇×
27: ●〇×　⟁9 ＊1

この状態がこのあと編んでいく基本形になりますので、★と＊記号の意味を図解します。

★ そこで三角錐が５個集まり、赤ストロー（正12面体の辺）が五角形に閉じます。
＊ そこで三角錐が６個集まり、赤と白のストローが交互に３本ずつ集まります。
＊は五角形の頂点に現れます。このあとも五角形の周りに三角錐を編んでいくと、＊印のところ（五角形の頂点）に三角錐が６個集まります。

28: 〇〇×
29: △△×
30: ▲〇×　⟁10

31: 〇〇×
32: △△×
33: ▲〇×　⟁11

34: △△×
35: ■〇×
36: ●〇×　⟁12 ＊2

ここで三角錐を作ってきた順番を見直してみましょう。
最初の５個 ①～⑤ で作られた五角形の周りに三角錐⑥～⑫が並んでいます。
この後も五角形の周りに三角錐を並べていきます。
37: 〇〇×
38: △△×
39: ▲〇×　⟁13

40: 〇〇×
41: △△×
42: ▲〇×　⟁14

43: △△×
44: ■〇×
45: ●〇×　⟁15 ＊3

＊が３つできていることを確認
46: 〇〇×
47: △△×
48: ▲〇×　⟁16

49: 〇〇×
50: △△×
51: ▲〇×　⟁17

52: △△×
53: ■〇×
54: ●〇×　⟁18 ＊4

55: 〇〇×
56: △△×
57: ▲〇×　⟁19

58: △△×
59: ■〇×
60: ●〇×　⟁20 ＊5　2周

ここで２周しました。外側の白いストローを見ると、赤い五角形より一回り大きな五角形になっています。
ここまでは全体が見渡せる画像が撮れましたが、この後は丸く球になっていくので、画像付きで説明するのが難しい😅
でも、ここまで作ってきたら次の展開が見えてきませんか？
60面体は正12面体の各面を５分割したものなので…
・三角錐５個で赤ストローの五角形が閉じるように編む
・五角形の頂点には三角錐が６個（赤白ストローが交互に）並ぶように編む
…これだけを注意しながら編めば、あとは手順を見なくても編めるハズです‼ だって、私はそうして編んでいるのだから。
でも、このあとの手順確認のために（説明画像なしで）記号だけ並べておきますね。

61: 〇〇×
62: △△×
63: ▲〇×　⟁21
64: △△×
65: ■〇×
66: ●〇×　⟁22 ★2
67: 〇〇×
68: △△×
69: ▲〇×　⟁23
70: 〇〇×
71: △△×
72: ▲〇×　⟁24
73: △△×
74: ■〇×
75: ●〇×　⟁25 ＊6
76: △△×
77: ■〇×
78: ●〇×　⟁26 ★3
79: 〇〇×
80: △△×
81: ▲〇×　⟁27
82: 〇〇×
83: △△×
84: ▲〇×　⟁28
85: △△×
86: ■〇×
87: ●〇×　⟁29 ＊7
88: △△×
89: ■〇×
90: ●〇×　⟁30 ★4
91: 〇〇×
92: △△×
93: ▲〇×　⟁31
94: 〇〇×
95: △△×
96: ▲〇×　⟁32
97: △△×
98: ■〇×
99: ●〇×　⟁33 ＊8
100: △△×
101: ■〇×
102: ●〇×　⟁34 ★5
103: 〇〇×
104: △△×
105: ▲〇×　⟁35
106: 〇〇×
107: △△×
108: ▲〇×　⟁36
109: △△×
110: ■〇×
111: ●〇×　⟁37 ＊9
112: △△×
113: ■〇×
114: ●〇×　⟁38 ★6
115: 〇〇×
116: △△×
117: ▲〇×　⟁39
118: △△×
119: ■〇×
120: ●〇×　⟁40 ＊10　3周
121: 〇〇×
122: △△×
123: ▲〇×　⟁41
124: △△×
125: ■〇×
126: ●〇×　⟁42 ＊11
127: 〇〇×
128: △△×
129: ▲〇×　⟁43
130: △△×
131: ■〇×
132: ●〇×　⟁44 ★7
133: △△×
134: ■〇×
135: ●〇×　⟁45 ＊12
136: 〇〇×
137: △△×
138: ▲〇×　⟁46
139: △△×
140: ■〇×
141: ●〇×　⟁47 ★8
142: △△×
143: ■〇×
144: ●〇×　⟁48 ＊13
145: 〇〇×
146: △△×
147: ▲〇×　⟁49
148: △△×
149: ■〇×
150: ●〇×　⟁50 ★9
151: △△×
152: ■〇×
153: ●〇×　⟁51 ＊14
154: 〇〇×
155: △△×
156: ▲〇×　⟁52
157: △△×
158: ■〇×
159: ●〇×　⟁53 ★10
160: △△×
161: ■〇×
162: ●〇×　⟁54 ＊15
163: △△×
164: ■〇×
165: ●〇×　⟁55 ★11　4周
166: 〇〇×
167: △△×
168: ▲〇×　⟁56
169: △△×
170: ■〇×
171: ●〇×　⟁57 ＊16
172: △△×
173: ■〇×
174: ●〇×　⟁58 ＊17
175: △△×
176: ■〇×
177: ●〇×　⟁59 ＊18
178: △△×
179: ■〇×
180: ■●〆　⟁60 ＊19 ＊20 ★12
最後に左右のゴムひもが一か所に出会いますので、そこで 〆 です😃

ゴムひもは、解けにくい「本結び」で結びます。
また、余ったゴム紐を結び目の近くで切ると解けてしまうこともあるので、結んだゴムひもの残った端を、もう一度ストローの中に通します。

余ったゴム紐を軽く引っ張りながら切ると、ゴムひもがストローの中に引っ込み、できあがりがスッキリします。

16メートルの１本のゴムひもの左右が 270回の交差を繰り返し（９時間に及ぶ編み物の旅の）最後に一つに結ばれて、めでたし、めでたし😊

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作ってみて分ったんですが、60面体の各頂点が球面に接するジオデシックボールをベースにすると、五角形を５分割した五角錐の盛り上がりが僅かなので…

この部分が簡単に凹むので、60角星の「角」の部分が👇こんな風に凹んでしまう😅

なので、ストローの長さを微妙に変えてジオデシックにするより、全てのスローを同じ長さにした方が、五角錐の凸が大きくなるので、凹みにくくなります。ストローでなく竹ビーズで編む場合は竹ビーズの長さを変えることができないので、凹みにくい60角星になりました😅

※関連記事
2025/01/02 60角星★竹ビーズ270本を１本のテグスで編む

2015/01/02 60角星★竹ビーズ270本を編んで作った180面体
2019/01/03 20角星の作り方（改良バージョン）正４面体×20方式
2024/12/04 （正12面体の各面を5分割した）60面体ジオデシックボールの編み

（正12面体の各面を5分割した）60面体ジオデシックボールの編み方

👆赤いストローが正五角形12面の正12面体になってます。
白いストローは正五角形を三角形５つに分割し、その中心を正12面体の外接球に接するように持ち上げた五角錐になっています。
正12面体の各面を5分割すると三角形60面となり、そのすべての頂点が外接球に接するので、ジオデシック・ボールです。

これを編むのは『60角星』を編むためのウォーミングアップアップでして、10年ぶりに編むことに至った経緯は前回の記事に書きましたので、今回は「編み方」です😃

■用意するもの

60面体ジオデシックボールは2種類の長さのストローを30+60本用意します。
正12面体の辺：30mm 30本（赤いストロー）
五角錐の稜辺：27mm 60本（白いストロー）
ストローを編むゴムひもの長さは…
(30×30＋27×60)×2＝5,040mm＋予備で 6メートル
※ストローは直径4mmの細めの物を使っています。
※ゴムひもは2本丸という太さのもの。

■編み方
ストロー正多面体の編み方を説明するために独自にあみ出した下記の記号で説明します。
今回は長さの違う2種類のストローがありますので、それを ◎(赤 30mm)、〇(白 27mm)で区別します。
　◎　右側のゴムひもに新しいストロー(赤 30mm)を通します。
　○　右側のゴムひもに新しいストロー(白 27mm)を通します。
　×　左側のゴムひもを右側のゴムひもに通した最後のストローに通しクロスさせます。
　●　左側のゴムひもをゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。（赤、白 どちらの場合もあります）
　〆　左右のゴムひもが一箇所に集まったら、ゴムひもをかたく結んで、結んだ後のゴムひもの端をもう一度ストローに通します。そして余ったゴムひもは切り落として完成です。（ゴムひもを結んだところで切ると、ゴムひもがほどけてしまうことがあるので「結んだ後のゴムひもの端をもう一度ストローに通します」ここだけ、ストローの中をゴムひもが３回通ることになります。こうしておくと、結び目が目立たなくなり、できあがりがキレイになります。）

ジオデシックボール（ストロー60面体）の編み方
全60ステップ。
★はそこで五角錐ができることを示します。（正12面体ベースなので、★は12個）
60面体は編み物としては５周するとできあがります。

1 〇◎〇× 左右のゴムひもの長さが等しくなるように最初の三角形を編みます
2 ◎〇×　反時計回りに三角形が増えていきます
3 ◎〇×
4 ◎〇×
5 ●◎× ★１周目

ちょっとだけ盛り上がった五角錐です。

6 〇〇×
7 〇◎×
8 〇〇×
9 ●〇×
10 〇◎×
11 〇〇×
12 ●〇×
13 〇◎×
14 〇〇×
15 ●〇×
16 〇◎×
17 〇〇×
18 ●〇×
19 〇◎×
20 ●〇× ２周目

21 ◎〇×
22 ●◎× ★
23 〇〇×
24 〇◎×
25 ●〇×
26 ●◎× ★
27 〇〇×
28 〇◎×
29 ●〇×
30 ●◎× ★
31 〇〇×
32 〇◎×
33 ●〇×
34 ●◎× ★
35 〇〇×
36 〇◎×
37 ●〇×
38 ●◎× ★
39 〇〇×
40 ●〇× ３周目

41 〇◎×
42 ●〇×
43 ◎〇×
44 ●◎× ★
45 ●〇×
46 ◎〇×
47 ●◎× ★
48 ●〇×
49 ◎〇×
50 ●◎× ★
51 ●〇×
52 ◎〇×
53 ●◎× ★
54 ●〇×
55 ●◎× ★ ４周目

56 〇〇×
57 ●〇×
58 ●〇×
59 ●〇×
60 ●●〆 ★

※編み終わったときのゴムひもの余りは、理論的には左右同じ長さになるハズですが、なぜか？左右の長さに差が出ます。今回は、38cm、64cm でした。編み終わりが近くなったときに片方のゴムひもが短くなると「え！ゴムひも足りる？」と不安になりますが、ちゃんと編めていれば足りるハズです😅

では、できあがった60面体ジオデシックボールを観賞～😊

👆正五角形の一面を正面に

👆正五角形３面が集まる頂点を正面に

👆ライティングを変えて見上げると～
the Construction（ザ・コンストラクション）って感じ😃

さて、次はいよいよ、60面体の各面に三角錐を立てた 60面×３角錐＝180面の『60角星』を編みます。
編みました👉2024/12/28 60角星★ストロー270本を１本のゴムひもで編む

そして、竹ビーズでも編みました。👉2025/01/02 60角星★竹ビーズ270本を１本のテグスで編む

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