2021年8月16日 (月)

PPバンドとドジックで作る楕円体ボール

こんなの↓できてしまった😃
Pptb4565a1Pptb4565a2
「作りました」ではなく、
「できてしまった」なのは…
PPバンドとドジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方8面体、正8面体 で出てきた課題…
Graetcircleballs
大円の数:5 の大円ボールはできないのか?
大円の円周:4 の大円ボールはできないのか?
大円の数 7以上、大円の円周 6以上の大円ボールはできないのか?

これを試した結果です。

大円の円周:4 の大円ボールはできないのか?
「大円の円周」とは、大円ボールのパーツの
2012ball00b
3穴のPPバンドの本数です。
Pptb45a
赤道(赤いPPバンド)は、3穴のPPバンドが4本です。
赤道の上下に五角形と三角形を交互に作ると、
極は四角形になりました。
Pptb45b
そして、作ってみて分ったんですが、赤道以外の(青い)PPバンドは円にならず、一本につながっているんです!
あ~それから、球体にならず、ラグビーボールのような縦長のボールになってしまいました。
球体ではないから「楕円体」ボールというタイトルにしましたが、このボールの長軸断面が本当に楕円になっているか? は検証していません。そういうの苦手だから、たぶん検証はしません😅
まぁ、少なくとも赤道は円です。
赤道のPPバンドは4本。それ以外のPPバンドは20本です。
この(青の)うねうねPPバンドですが、なんか人工衛星の軌跡みたいですよね~😃
人工衛星の軌道が赤道に対して傾斜していると、それを地上に投影した軌跡は… 例えば、ISS なら
ISSや人工衛星の地上軌跡が大きな波線のようにうねっているのはなぜですか?|JAXA

大円の円周:6以上の大円ボールはできないのか?
Pptb65d
こんな扁平なボールになってしまいました。
赤道が6本なので、極は六角形になります。
Pptb65a
そして、このボールも注目点は赤道以外の(青い)PPバンドが~うねうね~うねうね~と 一本につながっていることです。
Pptb65b
赤道のPPバンドは6本。それ以外のPPバンドは30本です。

ここまで作ると、7以上も予想がつきます。
赤道のPPバンドを7本にすると、極は七角形。
赤道のPPバンドを8本にすると、極は八角形。。。と、どんどん扁平な🍩ドーナツ状になっていきますね。

ということで、大円の円周:4 および、6以上の大円ボールはできない! ←とは言い切れませんよね。
赤道の上下に五角形を作ってましたが、これを四角形にしたらどうなる?

赤道の円周:4で、上下を四角形にしたらどうなる?
Pptb44b
こんな扁平になってしまった。しかも、赤道は円ではなく丸四角になってます。
Pptb44a
もはやボールとは呼べません💧 「おにぎらず」(切る前)?😅
赤道以外の(青い)PPバンドは一本につながっています。

赤道の円周:6以上では扁平になってしまったから、一部を六角形にしたら上下に伸びない?
赤道の円周:6で、五角形と六角形を交互に並べてみたら…
Pptb656a
ジャガイモ🥔ボールになってしまった😅
Pptb656b
六角形があるとその部分が平面になるので、赤道部分は丸みをおびた三角形になってます。
そして、赤道以外の(青い)PPバンドは一本につながっています。

以上の結果から、大円の円周:4 および、6以上の大円ボールはできない! ←とはまだ言い切れません。
「ない!」と言い切るには、数学的に証明しないと… でも、そういうの苦手だから💧
誰かこれに興味をもって、証明してみた!ら教えてね。

さて、私は「大円ボールになる/ならない」を色々作って試してみました。でも最終的には数学的な証明が必要で、証明されたらこの試作は無駄? いえいえ、この試作の中から面白い結果が見つかってますよね。
「赤道以外の(青い)PPバンドは一本につながっています。」←これ面白い! 私にとっては😃
赤道以外のPPバンドが一本につながっているということは、赤道のPPバンドと長い一本のPPバンドでこのボールを「編む」ことができるということです。ドジックを使わずに。
例えば、PPバンドとトジックで作る20・12面体ボールは
2012ball10
三角形部分の穴を一点に縮小し、PPバンドを「三すくみ」に組むと、トジックを使わずに「編む」ことができます。
Sepaktakrawball

ということで、次の自由研究課題が出てきてしまいました。
『赤道のPPバンドと長い一本のPPバンドで楕円体ボール編む』
あ、楕円体かどうかは「?」です。
それと、大円の数:5 の大円ボールはできないのか? ←これは、作り方を思いつかないので「未解決問題」です💧



※関連記事
2021/08/14 PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方8面体、正8面体
2021/08/10 PPバンド90本とドジック180個で作る(ねじれ)20・12・60面体ボール
2020/06/22 20・12面体ボールの作り方(まとめ)

2021年8月14日 (土)

PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方8面体、正8面体

Graetcircleballs3
2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう!』2回目 をやったとき、
Pptballs210501b2
PPバンドとトジックで他にもこんなボールを作ることができます。と展示しておいたのが…
Pptballs
大きな(ねじれ)20・12・60面体ボールの作り方はブログに載せたので、
小さい方の、立方8面体ボールと正8面体ボールの作り方も載せておきます。

見た目のインパクトはデッカイ方が大きいですが、幾何学的には20・12面体ボール→立方8面体ボール→正8面体ボールと小さくしていくと、そこに現れる関係が面白い🧐
↓こうなってます
Graetcircleballs
大円(だいえん)とは『球面を,球の中心を通る平面で切った切り口の曲線。球を平面で切った切り口の曲線はすべて円となるが,そのなかで最も大きな円となることから,この名がある。』コトバンク ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
大円の分りやすい一例が「赤道」です。
20・12面体ボールの一つの大円を赤いPPバンドにすると…
Graetcircleball2012
…20・12面体ボールは6本の大円でできているのです。
20・12面体ボールの作り方をどう説明したらいいのだろう? と考えていて…
正多面体(20・12面体は準正多面体)を説明するときは「対称性」に着目しなくちゃね。
そもそも今の作り方(三角形作って、五角形作って、下から上に組み上げていく)のは妥当か?
20・12面体ボールは6つの大円でできている。とある1つの大円を赤道として上下を見れば・・・
あ~! 赤道から作れば劇的に分りやすく簡単になるじゃないか!!
…ということで、赤道(大円)から作る方法に変えました

でね、作ってて思ったんですよ… 20・12面体を球面に投影すると、その辺は大円になり、6本の大円だけで構成されます。
他にも球面に投影したとき大円だけで構成される多面体はあるかな?
5種類の正多面体の中では、球面に投影したとき大円になるのは正8面体だけ。
※多面体を球面に投影したとき、その辺が大円になるためには、頂点に集まる辺の数が偶数でなければならない。←奇数だと折れ曲がってしまって大円にならない。
5種類の正多面体の中で頂点に集まる辺の数が偶数なのは正8面体しかない。
Graetcircleball8

20・12面体準正多面体なので、もう一つの準正多面体の立方8面体はどうだ?←大円だけで構成されますね~
Graetcircleball68

他には? 半正多面体 13種類→準正多面体2種を除いた11種類の内、頂点に集まる辺の数が偶数なのは… 斜方立方8面体斜方20・12面体 があるが、大円ではなく小円になるのでハズレ💧

カラタンの立体(半正多面体の双対)では?
6方8面体6方20面体 が大円だけで構成されるが、面が「正三角形」じゃなく「ただの三角形」なところが美しさに欠けるな~😅 それに、トジックで留められるPPバンドは3枚までなので、作ることができません💧
※余談

・・・ということで、
多面体を球面に投影して大円だけで構成され、かつ各面が正多角形である多面体は、
20・12面体、立方8面体、正8面体 だけである。←それは確かか? 証明しなきゃ! なのですが、頭で考えるより、手作業による発見が楽しい私は、たぶんその証明を考えないので💧 どなたか証明したら教えてくださいませ😅

でね、大円だけで構成されるこれらのボールを『大円ボール』と呼ぶことにしたんですが、
Graetcircleballs3b
作ってみると気になることが出てくる。
それが先ほど示した↓この表で…
Graetcircleballs
大円の数:5 の大円ボールはできないのか?
大円の円周:4 の大円ボールはできないのか?
大円の数 7以上、大円の円周 6以上の大円ボールはできないのか?

これ、気になるでしょ? 気になった人は自由研究してみてね😊
これ、数学的に頭の中で考えるんじゃなくて、作ってみればわかる! ので私向き😅
その結果は? 長くなるので別途…

それより、大円ボールの作り方を載せておきます。
▼パーツ
▽20・12面体ボール
2012ball00b
3穴PPバンド:30本、トジック:30個 →PPバンドに穴を開ける方法

▽立方8面体ボール
Ppt68ball00r
3穴PPバンド:12本、トジック:12個

▽正8面体ボール
Ppt8ball00
3穴PPバンド:6本、トジック:6個

▼作り方
▽20・12面体ボール
次の記事を参照
2021/04/28 20・12面体ボールを作ろう!…手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する。
2021/04/30 20・12面体ボールの作り方…全30ステップを並べて見る=頭の中を可視化する

20・12面体ボールを作ったら、立方8面体ボールと正8面体ボールを作るのは簡単ですから、こんな風に作ったよという参考程度の画像を載せておきます。

▽立方8面体ボール
Ppt68ball01
Ppt68ball02
完成形…
Ppt68ball05
立方8面体ですから、正三角形8面と、正方形6面からなります。
Ppt68ball03Ppt68ball04

▽正8面体ボール
Ppt8ball01
PPバンドを三角形に組んで、2本繋がっている3本のバンドをそれぞれ輪にすれば、出来上がり。
Ppt8ball05
正8面体ですから、正三角形8面で、大円は3つ
Ppt8ball03Ppt8ball04


※余談
ところで私、多面体の名前の数字は漢数字ではなくアラビア数字で表記する流儀なんですが…
だって「正二十面体」だと、数値の 20 が即座に認識できないのよ💧 「正20面体」と書いた方が分りやすいよね? ね!😅
月を「12月」とアラビア数字で表記し、台風を「台風20号」のようにアラビア数字で表記する文化の日本なんだから、多面体の名前もアラビア数字で表記した方が分りやすいと思いません?!
でも「六方八面体」「六方二十面体」の「六方」には困った💧
「6方8面体」「6方20面体」ん~ しっくりこない💧 だいたい「六方」って何だよ?
六方八面体:hexakis octahedron
hexakis(ヘキサキス):六方 ←解決せず💧
hexa-kis ⇒倍数接頭辞|IUPACとCASの化合物命名法(主に有機化学)について|貞廣知行 によりますと…『4以上は、数詞に -kis キスを添えて作る。』←これでも「六方」の意味はよく分らん💧 6を表す接頭辞なのね。くらいの理解😅 ⇒倍数接頭辞 - Wikipedia
そこで「六方八面体」の形をもう一度よく見る…
あ~ 正8面体の正三角形の各面を6分割して頂点を持ち上げた形なのね。
正8面体は大円ボールになり、それにさらに3つの大円を加えると、六方八面体ボールができますね。
「六方」が何か分ってきたら、「6方8面体」←違和感がなくなって、こっちの方が分りやすく思えてきた😅
では、「六方二十面体」も、もう一度よく見る。
あ~ 正20面体の正三角形の各面を6分割して頂点を持ち上げた形なのね。
そして、正20面体の頂点に集まる辺は5本で奇数だから大円ボールにならなかったけど、分割して頂点に集まる辺が10本で偶数になったから大円ボールになるんだ! ←ちょっと、この6方20面体ボールを作れたらスゴイんじゃない!?
作ってみたくなってきた😊 PPバンドが5本も重なるからトジックでは留められないから、どうする? ←ここが課題

それと、もう一つ気付いた。
正8面体の正三角形の各面を6分割して頂点を持ち上げた形が、6方8面体で大円ボールになるのだが、同様に
立方8面体の正方形の各面を4分割して頂点を持ち上げたら、これも大円ボールになるよね。
20・12面体の正五角形の各面を5分割して頂点を持ち上げたら、これも大円ボールになる。
あら? 面が正多角形であることにこだわらなければ、大円ボールになる多面体はいくらでもあるのか? ←これは次の自由研究の課題候補ということで、そのうち…😅



※関連記事
2021/08/10 PPバンド90本とドジック180個で作る(ねじれ)20・12・60面体ボール
2020/06/22 20・12面体ボールの作り方(まとめ)

2021年8月10日 (火)

PPバンド90本とトジック180個で作る(ねじれ)20・12・60面体ボール

4つ穴のPPバンド90本とトジック180個で
↓こんなボールを作ってみました。
Pp90t180ball01
正六角形:20面
正五角形:12面
正三角形:60面 で構成されるので、
「20・12・60面体」と名付けてみた😅
ただし、各面が平面では作れないので(ねじれ)20・12・60面体ボール です⚽

なんでこんなものを作ったかというと…
2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう!』2回目 をやったとき、
Pptballs210501b2
PPバンドとトジックで他にもこんなボールを作ることができます。と例示しておきたかったから🙂
Pptballs
20・12面体ボールと同じ3つ穴のPPバンドで、バンドの本数を減らしていくと…
20・12面体ボール:1周5本、五角形
立方8面体ボール:1周3本、四角形
正8面体ボール:1周2本、三角形 …という関係が幾何学的に面白いと思うのだが、その面白さを小学生に伝えるのは難しいので、こんなデッカイのも作れる! というインパクトのあるやつを見せようと作ったわけ😃

プロジェクターにかざして影を作ると↓ちょっとアート🙂
Pp90t180ball02
イベントが終わったあと、これを部屋に置いておくのはかさばるから、バラしてしまいましたので💧
せめて制作過程を記録にとどめておきますね。

▼パーツを用意する
Pp90t180ballm01
ドジック 凸180個 凹180個
4つ穴のPPバンド90本 →穴のあけ方

※組み立てる前に…
手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する」ことが大事ですので、このボールの仕組み(構造)を確認しておきましょう。
・正五角形12面と正六角形20面で構成されるのがサッカーボール=切頂20面体
・このボールは切頂20面体の正五角形と正六角形の間に正三角形を挿入して膨らませたものである
・正五角形と正六角形の一辺の長さ1に対し、正三角形の一辺の長さは2
・正五角形の周りには5つの正三角形がある
・正六角形の周りには6つの正三角形がある
・正五角形の周りには(正三角形を間に挟んで)5つの正六角形がある
・切頂20面体を層状に分けると…
①正五角形(1面)
②正六角形(5面)
③正五角形(5面)
④正六角形(10面)
⑤正五角形(5面)
⑥正六角形(5面)
⑦正五角形(1面)
…と、なっていて、この順に組んでいきます。

▼①五角形に組む
Pp90t180ballm02
※端の穴のPPバンドを下側にすると見た目がスッキリします。

▼五角形の周りに三角形を5つ組む
Pp90t180ballm03

▼六角形を組む
Pp90t180ballm04

▼六角形の周りに三角形を組む
Pp90t180ballm05

▼②六角形は五角形の周りに5つ組む
Pp90t180ballm06
↓ ★印で示した五角形の周りに(三角形を間に挟んで)六角形が5つありますね
Pp90t180ballm06a

▼③五角形を5つ組む
Pp90t180ballm07
※丸くなってきて、新たに組んだ五角形が見えないので、ひっくり返します
Pp90t180ballm08
↓ 五角形と六角形がどこにできているのかを示します
Pp90t180ballm08a

▼④六角形を10個組む
Pp90t180ballm09
※その10個の六角形を示すのが困難なので、頭の中でイメージしてください😅

▼⑤五角形を5つ組む
Pp90t180ballm10
※引き続き頭の中でイメージしてください😅
でも、次に組む ⑥六角形6つと ⑦五角形1つは見えてきてますね

▼⑥六角形6つと ⑦五角形1つを組む
Pp90t180ballm10a
矢印で示したようにPPバンドを組むと、六角形5つと五角形1つが同時にできます。

(ねじれ)20・12・60面体ボール 完成です!😃
Pp90t180ballm11
切頂20面体は、対面の正五角形どうしは逆向きで、対面の正六角形どうしは同じ向きなのですが、
この 20・12・60面体ボールは(ねじれ)ているので…
Pp90t180ballm12
六角形は同じ向きではなく、
Pp90t180ballm13
五角形は同じ向きになってます。


以前、twitterで見かけて「お~!高校生がデッカイ正多面体を作ってる~!」と感動してフォローした
朋優プロジェクト』で、これと同じものを作ってました。


※トジックではなくハトメをつかっていますが、ハトメだと間違えたときにやり直すのが大変なんです💧 それを、180個もハトメでとめて… 頑張ったね!👏


※関連記事
2021/08/14 PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方8面体、正8面体
2020/06/22 20・12面体ボールの作り方(まとめ)

※このボールの形状はテンセグリティと関連があるので、画像検索結果を眺めてみてください。
「90本 テンセグリティ」で画像検索
日本語の検索結果より、英語の検索結果の方がカッコイイ画像が出てくる😅
「90 struts Tensegrity」で画像検索

2021年6月 3日 (木)

大円ボール…20・12面体、立方8面体、正8面体をPPバンドとトジックで作る

Gcballs
PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール』は、20個の正三角形と、12個の正五角形で構成されるので、まず三角形を作り、三角形を5つ作ると五角形ができ、…という風に作ることができるのだが、このように下から上に作っていくと、その手順に「対称性」がないので、途中で「わけわかんな~い💧」となりやすい。もっと作りやすい方法はないものか? と考えたら…
20・12面体ボールは6本の「大円」で構成される。そして、1つの大円に着目すると、その上下(左右)で「対称」である。そこで、とある1つの大円に着目して作ったら劇的に分りやすく簡単になった
そして、大円に着目したことで次の発想が出てきた。
他にも大円で構成される多面体はないのかな?
20・12面体準正多面体だから~ もう一つの準正多面体「立方8面体」は? できるじゃん! 立方8面体を球面に投影すると、その辺は大円になってます。
他には? 5種類の正多面体の内、球面に投影すると辺が大円になるものは? →正8面体が大円になりますね。
他には? 半正多面体 13種類を見たけど、準正多面体の20・12面体と立方8面体 以外は大円にならない。

では、大円で構成される 20・12面体、立方8面体、正8面体をPPバンドとトジックで作ってみましょう。
▼20・12面体ボール
Gcball5
PPバンド:30本、トジック:30個、大円:6輪、大円の大きさ:10
※「大円の大きさ」は正三角形の1辺を1として数えてます。

▼立方8面体ボール
Gcball3
PPバンド:12本、トジック:12個、大円:4輪、大円の大きさ:6

▼正8面体ボール
Gcball2
PPバンド:6本、トジック:6個、大円:3輪、大円の大きさ:4

ん~ 何か規則性がありますね。そして、大円で構成できる多面体ボールはこれ以外には無いのでしょうか?
もうちょっと「自由研究」してみようかな😊



※関連記事
2021/04/25 20・12面体ボールを作ろう! 準備作業
2021/04/28 20・12面体ボールを作ろう!…手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する。
2021/04/30 20・12面体ボールの作り方…全30ステップを並べて見る=頭の中を可視化する
2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう!』2回目

2021年4月30日 (金)

20・12面体ボールの作り方…全30ステップを並べて見る=頭の中を可視化する

2020年6月に『PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール』を新規開発し、
2021/04/03(土) 東芝未来科学館のイベント『20・12面体ボールを作ろう!』にて実施
2021/05/01(土) もう一度『20・12面体ボールを作ろう!』が実施されるので、4月の『振り返り』をして、より分りやすい作り方をパワポのスライドにまとめた。
20・12面体ボールをつくろう!…手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する。
でもな~ 作り方のスライドが14枚って💧 どうしたって手順は説明しなくちゃならないし… でも14枚ものスライドを一気に見せられても、なかなか頭に入ってこないよね~
私の頭の中では20・12面体ボールの作り方は非常にスッキリしているのだが、それを伝えようとすると… もやもや しちゃうんだよね~
作り方のノウハウ的なものは個々のスライドで説明だけど、全体を俯瞰するような1枚が欲しいよね。
じゃぁ、それを作ってみましょうか!と、作ったのが↓
Tpp2012ball_build720px
PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール』は、30本のPPバンド(3つの穴あき)と、30個のトジックで作ります。トジックでPPバンドを閉じるときは、3本のPPバンドの穴に『端っこ、端っこ、真ん中の穴は一番上』という「おまじない」をとなえて😅 これを30回繰り返せば出来上がります。その30回トジックでとじてるところに1~30の番号を振ってます。

30ステップを1枚の画像にまとめて見ると… あ~そうだったのか! 自分では作り方をクリアに整理して理解しているつもりだったけど、こうして1枚の画像にまとめて見ると、自分の理解がより進んだ。

  • step1~17:1本の大円に沿って、その上下に三角形を作る。ここまでは展開図状態。
  • step18~20:展開図状態で作っていた大円を輪にする。大円の上下には5個ずつ計10個の三角形がある。展開図状態では4個ずつ計8個の三角形を作っていたので、輪にして(step18) 残り2個の三角形を作る(step19, 20)
  • ここまでで30本のPPバンドは使い切っている。残るトジックは10個。
  • 大円の上下にはそれぞれ、5個の五角形、5個の三角形、てっぺんに1個の五角形がある。
  • step21~25:大円の上側に5個の五角形を作る。同時に5個の三角形もでき、最後にてっぺんの五角形もできる(step25)
  • step26~30:大円の下側も同様に。ひっくりかえして同じことを繰り返せば出来上がり~😃

↑ほら、これくらいに整理されると覚えておくことできるよね。(14枚のスライドは覚えられなかったけど💧)
自分の頭の中で「もやもや」してることがあったら、それを書き出してみることって大事だよね~ と再認識した。
頭の中で整理できない「もやもや」は、頭の中を書き出す(可視化する)ことで「あ、そうだったのか~!」と気づくことがよくある。ブログを書いていて何度もそういうことあった。
頭の中を可視化する』←お薦めです😊

「頭の中を可視化する」で検索したら、ありました! 私と同じように感じている人が。
頭の中を可視化する|あずき|note

ところで、可視化(visualization)と似たような言葉で(同じ意味だと思うんですが)「見える化」ってよく使われてますよね。
見える化 - Wikipedia
『見える化(みえるか、Visual control)とは、企業や組織における財務、業務、戦略などの活動実態を具体化し、客観的に捉えられるようにすることである。』 え!そうだったの。思ってたんとちょっと違う💧
『原義…「見える化」という表現は、「目で見える管理」のことで、トヨタ自動車による業務の改善活動の観点において初めて登場した。』

ん~「可視化」と「見える化」似てるようで、ちょっと違う。
私がやってるのは「頭の中を可視化する」ですね😊



※関連記事
2021/04/03 20・12面体ボールを作ろう!『振り返り』
2021/04/25 20・12面体ボールを作ろう! 準備作業
2021/04/28 20・12面体ボールを作ろう!…手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する。

2020年6月29日 (月)

ビー玉万華鏡の仕組み

一般的な万華鏡は筒の先端にキラキラ✨ビーズなどのオブジェクトを置き、これを3枚の合わせ鏡で覗いて見ます。
オブジェクトを変えられる万華鏡(Kaleidoscope)
Ks19 Ks22

一方、ビー玉万華鏡は筒の先にビー玉を取り付けただけ、オブジェクトは置きません。
ビー玉万華鏡(Teleidoscope)
Ts02 Ts13

ビー玉万華鏡はビー玉の先にあるものを映し出す万華鏡です。
Kaleidoscope190326f11
でも、なぜビー玉がビー玉の先にあるものを映し出すのでしょう?
それは~
凸レンズ」は知ってるよね?
凸レンズで太陽の光を集めて紙を焦がす実験したことない?
虫めがねで紙をこがす|NHK for School
凸レンズ(虫めがね)で太陽の光を集めたとき、光が一番小さく絞られたところが「焦点」、レンズから焦点までの距離が「焦点距離」です。
Convexlens1forcus
さて、凸レンズが厚くなると、焦点距離は短くなります。
Convexlens2
さらに厚くなると、焦点距離はさらに短くなります。
Convexlens3
普通のレンズは球面レンズです。
そして、レンズをどんどん厚くしていくと「球」になります。
ガラスの球体=ガラス玉⇒ビー玉ですね。
Convexlens4
ガラス玉レンズの焦点は(ガラスの屈折率にもよりますが)だいたい球面になります。
球面が焦点になるので、そこに「像」を結びます。これを「結像」すると言います。
なので、ビー玉をかざして見ると~
Bdama01a
ビー玉の先の景色がビー玉の表面に逆さになって映ってます。
ビー玉万華鏡は、ビー玉に映った像を3枚の「合わせ鏡」で繰り返し反射させることで、万華鏡の無限のパターンを作り出していたのです。


※ビー玉万華鏡は「自由研究」にちょうどいいネタだと思います。
※関連記事もどうぞ
2020/07/07 ビー玉で「再帰性反射」の実験
Scienseagora2016aa050e Scienseagora2016aa050f

2018/04/21 『テーパードミラーのビー玉万華鏡』の作り方
Tsm19033015

2017/10/22 万華鏡の仕組み(合わせ鏡)
Pmirrors

2019/04/24 『ミラーシステム』は万華鏡の「仕組み」ではありません
Howkaleidoscope1

2019/11/23 平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!?…作ってみよう
Kaleidoscope_mirror3

2019/11/28 平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!…なぜ?
Kaleidoscopet07



※この記事を書くときに参考にしたページ
ガラス玉レンズの焦点距離と倍率|光と色と
レンズの製造工程 球面レンズができるまで|光と色と
レンズを通る光|わかりやすい高校物理の部屋
凸レンズのつくる像|わかりやすい高校物理の部屋
球面レンズの曲率半径と焦点距離(レンズメーカーの公式)|FNの高校物理

2020年6月22日 (月)

20・12面体ボールの作り方(まとめ)

Icosidodecaball
ふと思いついて、PPバンドとトジックで 20・12面体ボールを作ったら、
5本も記事を書いていたので、インデックス張っておきます。



2穴パンチでPPバンドの中心に穴をあける方法…(ねじれ)20・12面体ボールを作る準備
T20p12ball00Pptjk2012ball02

PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小五角・大三角Ver.)
T20p12ball12

※なぜこのボールを作ったのか
 材料費、所要時間、科学教室での実施可能性
 (ねじれ)について 書いてます。

PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小三角・大五角Ver.)
P12t20ball15

PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール(PPバンド30本Ver.)「ねじれ」ていない
2012ball102012ball00

PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール(PPバンド6本Ver.)
Idball00


トジックを使わず「三すくみ」と両面テープで作る…
PPバンドのセパタクローボールの作り方…『三すくみ』で説明
Sepaktakrawball

PPバンドのセパタクローボールの作り方…準備編
PP band 6 PP_band01


※2021/04/03(土)と5/1(土)の2回、東芝未来科学館でやってきた
2021/04/03 20・12面体ボールを作ろう!『振り返り』
2021/04/25 20・12面体ボールを作ろう! 準備作業
2021/04/30 20・12面体ボールの作り方…全30ステップを並べて見る=頭の中を可視化する
Tpp2012ball_build720px

2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう!』2回目

※そこからの発展形
2021/08/10 PPバンド90本とトジック180個で作る(ねじれ)20・12・60面体ボール
Pp90t180ball01

2021/08/14 PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方8面体、正8面体
Graetcircleballs3

2021/08/16 PPバンドとドジックで作る楕円体ボール
Pptb4565a1Pptb4565a2

2020年6月21日 (日)

PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール(PPバンド6本Ver.)

Idball20



PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール
30本のPPバンドと30個のトジックで作ったのですが、
2012ball00

※次の課題
5本のPPバンドで円を作るなら、1本のPPバンドで円を作った方が簡単だと思う。
9.5cm(3穴)×5本 が
41.5cm(11穴)×1本 になる。←これを6本作る。
2穴パンチで11個の穴をあける技(治具)を工夫する必要がある。

↑この課題をやってみた!
思いついたことを「そのうち」にすると、ちっともやらない性格なので(^^;
自分の中で盛り上がっているうちにやっておかないとね。
「そのうち」にすると、次の日食が起こるまでやってないかもしれないし(^^;;

■準備
まずは、PPバンドを41.5㎝の長さに6本切り、2穴パンチで4㎝間隔に11個の穴をあける。
Idball00
治具は新たに考えて作るの面倒だったので、これまでの治具を使った。
PPバンドの両端4個の穴はこれまでの治具で穴あけできるのだが、中3つの穴は…
PPバンドの真ん中に油性マジックで点を打ち、2穴パンチのセンターに合わせれば2個の穴はあく。
最後の1個は…
Idball01
2穴パンチで奇数個の穴をあけると、2回穴あけする箇所ができてしまう。
そして、そこがちょっとズレるのは…
Idball00a
まぁ、これくらいは許容範囲ってことで(^^;

■組み立て
PPバンドを組む前に基本を確認…
二十・十二面体 - Wikipedia で形を確認
・20・12面体ボールは、三角形20個と五角形12個で構成される。
・三角形の周りに3個の五角形が接する。
・五角形の周りに5個の三角形が接する。
・6本のPPバンドは6個の大円となる。
・PPバントは互いに上下上下…と組む。※三角形は「三すくみ」となる。

まずは、3本のPPバントを三すくみに組む
Idball03Idball03a
▲で示したところに3本のPPバントを追加し三角形(三すくみ)を組む
Idball06Idball06a
★で示したところに五角形を組む
Idball07Idball07a
▲で示したところに三角形を組む
Idball08Idball08a
★で示したところに五角形を組む
Idball09Idball10
12個の五角形の内、6個の五角形を作ったので、半球状に丸くなってきました。
外側から見てると説明しずらいので、内側から見ます。
Idball10aIdball10b
▲で示したところに三角形を組み、
★で示したところに五角形を組むのですが、
ここからの要チェックポイント…
Idball10c
矢印で示したところがPPバンドの端です。
6本のPPバンドはそれぞれが輪(大円)になりますから、
Idball10d
点線で示したようにPPバンドの両端をつないで輪にします。
このため、こういう個所ではPPバンド3枚重ねでトジックで閉じることになります。
PPバンド2枚重ねで閉じられるところをすべて閉じ、トジックの残りが6個になった終盤は、みなPPバンド3枚重ねで6個の輪を閉じていくことになります。
ところが!
途中PPバンド2枚重ねの箇所が出てきた。あれ? おかしいな~ と進めていったら…
最後が ↓こうなった。
Idball12
PPバンドの端が4つ ←これ、おかしい!
どこかで何か間違えたのだが、何だ?
まぁ、PPバンド4枚重ねでもトジックでどうにか閉じられるから…
Idball13Idball13a
ボールにはなったが、PPバンドの端が上に出ていて美しくない!(´Д`)
納得できん!
やり直しだ!(≧σ≦)
※こういうとき、トジックで作っているとやり直しがきくのがイイね。ハトメで閉じるとやり直しが大変で。

トジックを外して、最初の三すくみの状態にまで戻す。
Idball15
何を間違えたんだ?
PPバンドを輪に閉じるとき、PPバンドの端は他のPPバンドの下に来てほしい。
PPバントは互いに上下上下…と組むので、この三すくみの状態から、それそれの穴が上/下どちらになるかを追っていく…
Idball15a
すると、PPバンドの端が「上」になるのがあった。←原因はコレだ!
端が「上」になってるPPバンドの組み位置を1つずらし…
Idball16Idball16a
3本のPPバンドの両端が「下」になることを確認。
さらに3本のPPバンドを追加するときも、上下上下…と確認し、すべての端が「下」になることを確認した。
Idball17
ふ~ これで、今度は想定通りに組めるはず。
最後は ↓こうなって、
Idball19
これでOK!
Idball20
20・12面体ボール完成~(^o^)
完成したけど、↓ここがチョット~
Idball20a
端は下になってるけど、その角がちょっと飛び出してる(^^;
これまでに作った(ねじれ)20・12面体ボールでは、PPバンドの角が出っ張って痛いので面取りしていたのだが、この(ねじれてない)20・12面体ボールでは安全性のための面取りは不要。見た目をよくするなら、この部分(6か所)だけトジックで閉じるときに面取りすればよい。
※予め四隅を面取りすると、4隅×6本=24回カットしなくてはならないが、閉じるときに面取りすれば6回で済む。

■まとめ
20・12面体ボールを2種別々の組み方で作った
・30本Ver. PPバンド30本・各3穴(全90穴:2穴パンチで60回)
・6本Ver. PPバンド6本・各11穴(全66穴:2穴パンチで36回)
6本Ver.の方が簡単になるだろうと思っていたのだが、実際に作ってみたら…
・11穴の穴あけが難しい。ちょっとズレる
・最初に三すくみに組むとき、端が「下」になるようにチェックしなければならない。
・30本組む方が、組んでいて楽しい(^o^)
…ということで、20・12面体ボールは30本Ver.がお勧めです。

20・12面体ボールを6本のPPバンドで組むなら、トジックを使わない PPバンドのセパタクローボール がお勧めです。
Sepaktakrawball

2020年6月20日 (土)

PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール

2012ball10



PPバンドとトジック
(ねじれ)20・12面体ボール(小五角・大三角Ver.)
T20p12ball12aP12t20ball15
(小三角・大五角Ver.)を作ったが、
↑この2つは「ねじれ」てるので、
↓ねじれていない20・12面体ボールも作ってみた。
2012ball10
※20・12面体とは⇒二十・十二面体 - Wikipedia

20・12面体は正三角形20面と正五角形12面で構成され、正五角形と正三角形の一辺の長さは同じです。
これまで作った(ねじれ)20・12面体ボールが「ねじれ」ていたのは、正五角形と正三角形の辺の長さが 1:2 または 2:1 の比率で等しくなかったためなので、これを 1:1 の比率にすれば「ねじれ」ていない20・12面体ボールになる。
↓こんなイメージ
2012ball20
4つ穴のPPバンドの中2つの穴を1つにまとめれば、正五角形と正三角形の辺の長さが等しくなる。
P12t20ball00
↑(ねじれ)20・12面体ボールのPPバンドは4つ穴(トジックは60個)でしたが、
↓3つ穴にすれば、ねじれていない20・12面体ボールが作れる。(トジックは30個)
2012ball00

では、20・12面体ボールの組み方の一例を以下に示します。
▼3本のPPバンドで三角形を作ります。
2012ball01
三角形の周りには五角形が3個接するので、五角形を作ろうとすると、
一度留めたトジックを外してPPバンドを継ぎ足さないといけない。
そこで、PPバンドの端を留めるときは、PPバンドを継ぎ足しておく。
↓こうなる。
2012ball02
長い3本(5穴)のPPバンドではなく、6本のPPバンドであることが分かるように色違いのPPバンドで示すと
↓こうなっている。
2012ball03
1つのトジックで3本のPPバンドを閉じています。
※閉じたときの見た目がよくなるように、PPバンドの端は他のPPバンドの下にします。

▼五角形を作るために、さらに三角形を2つ作る。
2012ball04
この状態をよく見ると…
2012ball04a
5本のバンド①②③④⑤が集まっているので、矢印で示したバンドを閉じると、
▼五角形ができる。
2012ball05
五角形の5辺に5個の三角形が接している。
五角形と三角形は交互に接するので、
下図の★で示したところに五角形を作る。
2012ball05a

▼五角形の周りに5個の五角形ができた。
2012ball06
これでボールの下半分(半球)ができたのだが、30本のPPバンドはすべて使い切っている。
トジックは25個使っているので、残りは5個

▼横から見ると、こうなってます。
2012ball07a
赤矢印で示したところは5本のPPバンドが円周状につながって、球の赤道/大円となっています。
まだ閉じていなPPバンドの端が10本あります。
これらの端をPPバンドが円周状になるように互いに結んでトジックで閉じます。
▼最後の一つを閉じる前
2012ball09
※PPバンドの端は他のバンドの下にして、閉じたときにPPバンドの端が外側から見えないようにします。

▼20・12面体ボール完成~(^o^)
2012ball10
結果、全部で6個の大円で20・12面体ボールができてます。
これは、二十・十二面体 - Wikipedia に書かれていた『二十・十二面体の赤道にあたる辺は正十角形を作り、これは6面ある。』ということに相当します。

で、このボールは 三すくみで作るPPバンドのセパタクローボールと同じ構造なのです。
Sepaktakrawball

※次の課題
5本のPPバンドで円を作るなら、1本のPPバンドで円を作った方が簡単だと思う。
9.5cm(3穴)×5本 が
41.5cm(11穴)×1本 になる。←これを6本作る。
2穴パンチで11個の穴をあける技(治具)を工夫する必要がある。
↑ この課題を
↓ やってみた。
2020/16/21 PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール(PPバンド6本Ver.)

※関連記事
2020/06/13 2穴パンチでPPバンドの中心に穴をあける方法…(ねじれ)20・12面体ボールを作る準備
2020/06/14 PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小五角・大三角Ver.)
2020/06/19 PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小三角・大五角Ver.)

2020年6月19日 (金)

PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小三角・大五角Ver.)

30本のPPバンドと、60個のトジック
2種類の(ねじれ)20・12面体ボールを作りました。

小五角・大三角Ver.)と
T20p12ball12aP12t20ball15
小三角・大五角Ver.)です。
この2つのボールのパーツは同じ。組み方が違うだけ。
何が違うかというと、三角形と五角形の大きさ。

(ねじれ)20・12面体ボール(小五角・大三角Ver.)を作っていて、三角形と五角形の大・小を入れ替えると違うボールになるね! と気づいたので作ってみた。
パーツのサイズは同じなのに、出来上がりの大きさはかなり違う。
P12t20ball22

では、(小三角・大五角Ver.)の作り方…
■用意するもの
P12t20ball00
・PPバンド:13.5cmに切り、4cm間隔に4個のパンチ穴をあけたもの:30本
・トジック:60個
詳細は→2穴パンチでPPバンドの中心に穴をあける方法…(ねじれ)20・12面体ボールを作る準備

■組み立て方
組み立てる前に次のことを頭に叩き込んでおいてください。
・このボールは、五角形12個と三角形20個で構成される。
・三角形の辺の長さはPPバンド1/3
・五角形の辺の長さはPPバンド2/3
・三角形の周りに五角形が3個接する。
・五角形の周りには三角形5個と五角形5個が交互に接する。
・PPバンドをトジックで留めるときは、PPバンドの端の穴が下、中の穴が上。(これは見た目をよくするため)
※以上のルールを適用していけば、このボールは作れます。
 パズルが好きな人は、上記のルールだけで作れるか試してみてください。
 以下に組み立て手順の一例を示します。

▼まずは3本のPPバンドで三角形を作ります。
P12t20ball01
▼引き続き三角形を作り…
P12t20ball02
P12t20ball03
P12t20ball04
↓矢印で示したところをつなげて、
P12t20ball04a
▼五角形にします。
P12t20ball05
五角形の周りに三角形が5個あります。
五角形の周りには三角形5個と五角形5個が交互に接するので、
↓星印で示したところに五角形を組んでいきます。
P12t20ball05a

▼五角形を順に追加していきます。
P12t20ball06
P12t20ball07
P12t20ball08
※外側から見ていると、だんだんと丸くなって次に組むところが見えにくくなるので、ひっくり返して内側から見ます。
P12t20ball09
↓矢印で示したところをつなげて、
P12t20ball09a
▼五角形の周りに5個の五角形ができました。
P12t20ball10

さて、下図の△で示した三角形に注目すると、
P12t20ball10a
各々の三角形の周りには五角形が2つずつできています。
三角形の周りに五角形が3個接するので、
↓星印で示したところに五角形を組んでいきます。
P12t20ball10b

ここから先は画像で分かりやすく示すことができないのですが、まぁ一応、画像を並べておきます。
ここまでで半分はできてますから「その調子!」で頑張って作ってね(^o^)

P12t20ball11
P12t20ball12
P12t20ball13
ここで30本のPPバンドをすべて使い切りました。
3本のPPバンドがまだ閉じていません。トジックは3個残っています。
3本のPPバンドを下図のようにつなげると…
P12t20ball13a
三角形が1つと、五角形が3つでき、
P12t20ball14
全てのPPバンドが閉じて完成です!
P12t20ball20



(ねじれ)について
正五角形 12面と、正三角形 20面で構成される多面体と言えば『二十・十二面体』です。
二十・十二面体は、正十二面体または正二十面体の各頂点を辺の中心まで切り落とした立体です。
正十二面体と正二十面体の、とある面の対面を見ると…
Rp12rp20
正十二面体の五角形の反対側の五角形は向きが逆になってます。
正二十面体の三角形の反対側の三角形も向きは逆になってます。
だから、二十・十二面体の五角形および三角形の反対側の面は逆向きになってます。
ところが、このボールは…
P12t20ball15
同じ向きなのです!
これは、正12面体なら五角形3面が集まる頂点に、このボールでは三角形が入り込んでいるために、ちょっと「ねじれ」てます。
P12t20ball10
また、正五角形3面でできる頂点を、ちょいとずらして正三角形の入るスペースを作ろうとしても…
P3nejire
…各面の辺をぴったり接することができないんです(^^;
ということで、このボールの五角形・三角形は「ねじれ」ているので、
(ねじれ)20・12面体ボール と名付けました。


※関連記事
2012/07/12 割り箸30本テンセグリティ
Waribashi_tensegrity12_2

2013/07/04 PPバンドのセパタクローボールの作り方…『三すくみ』で説明
Sepaktakrawball

2020/06/13 2穴パンチでPPバンドの中心に穴をあける方法…(ねじれ)20・12面体ボールを作る準備
2020/06/14 PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小五角・大三角Ver.)
2020/06/19 PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小三角・大五角Ver.)←今ここ
2020/06/20 PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール
2020/06/21 PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール(PPバンド6本Ver.)

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