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2023年9月24日 (日)

『花びらの数は(ほぼ)フィボナッチ数』仮説の仕組み解明される!?

Humaniencefibonacci5500
フィボナッチ…ホントなのかな?…『はじめアルゴリズム5』の記事に
『NHKのヒューマニエンス(2022年11月15日放映)をご覧になられましたか?』というコメントがあり、私はその番組を見逃していたので、NHKオンデマンドで ヒューマニエンス 40億年のたくらみ「“数字”世界の秘密を読み解くチカラ」 を見てみました。
いただいたコメントでは[花びらの数]がフィボナッチ数列で表せることを肯定する内容に批判的でしたが、
私がこの番組を見た感想は…
お~!ついに『花びらの数は(ほぼ)フィボナッチ数』仮説の仕組み解明されたんだ~🎉🎊でした。

では、花びらの数がフィボナッチ数列になる仕組みの解説を番組の画像とともに引用させていただきます。


先ほどVTRでご紹介したフィボナッチ数列
この数列と花びらの数との関係にも最近新しい発見があったという
Humaniencefibonacci5515
なぜそれが花の中でフィボナッチ数になるかということは解けていなかった
フィボナッチ数になるということ自体は もうおそらく数百年前からみんな知っていたんですけど
実は昨年 本当の答えが出まして
細胞がですね本当にフィボナッチ数列の計算をしてるんですよ 恐ろしいことに
花というのは最初できるときにリング状に花の基ができるんですね
で、その時に リングの中に最初1個できるんです
で2個目は ちょっと横に移動するんです
で次は 大きい方の弧に新しいのができるんです
そうするとまた大きい方の弧ができますよね
Humaniencefibonacci5602
それともとの前回増えなかった方の弧に新しいのがはいるっていうルールにすると完全にフィボナッチ数列の計算になるんですよ
Humaniencefibonacci5609
だから細胞がフィボナッチ数列の計算を本当にやってたんです


さて、上記の画像の下には小さな文字で…
「Phyllotactic patterning of gerbera glower heads」 PNAS 2021 Vol.118 No.13 e2016304118
…とあります。これが出展元のようなので、それを🔍してみると…
ありました!
Phyllotactic patterning of gerbera flower heads|PNAS
PNASってどこ?
米国科学アカデミー紀要
ほ~ かなり権威ある機関紙に掲載されたのですね。
この論文 英語なのでGoogle先生に翻訳してもらいましょう。
このページを訳す
翻訳されたタイトルは「ガーベラの頭花の葉序パターン」
この論文、A4で20数ページにもなるので、要点をピックアップ…

parastichies(parastichy)が寄生虫と訳されているのが💧ですが、parastichyは植物学の用語で「斜列」なのかな?
お、Wikipediaにあったゾ!
葉序|Wkikipedia > 葉序の表現 に『斜列線(しゃれつせん、parastichy)』の説明があり、『一般的な螺旋葉序では両斜列の数は連続するフィボナッチ数列となり』という記述もありました。
「parastichy」で画像検索すると、お~ ちょっとゾクゾクしてしまう幾何学的な画像が色々出てくるよ! 特に惹かれるこれなんて…
Geometrical study of phyllotactic patterns by Bernoulli spiral lattices|WILEY Online Library
このページを訳す
ベルヌーイ螺旋格子による葉序パターンの幾何学的研究』👈葉序のパターンにはこんな幾何学があったのか~!!
そしてこの論文には…
『葉や他の器官などの植物要素は、葉序と呼ばれる体系的な配置を形成します (Jean 1994)。パイナップルの鱗片やヒマワリの頭花序の小花などの典型的な葉序パターンでは、発散角と呼ばれる2つの連続する植物要素間の角度と、parastichies と呼ばれる目に見える螺旋が密接に関係していることが知られています。黄金比 τ=(1+√5)/2 とフィボナッチ数列 1、1、2、3、5、8、13、...。まれに、ルーカス数列 1、3、4、7、11、18、... およびフィボナッチ様数列によって記述される葉序パターンが存在します。Jean の調査によると (1994)、フィボナッチ数列は約 92% で発生し、ルーカス数列は約 2% で発生し、他の数列はこれら2つの数列に比べて非常にまれに発生します。これは、ほとんどの植物が黄金比とフィボナッチ数列によって支配されることを意味しますが、これは種には依存しません。』👈お~言い切ってますよ!

※ところで、黄金比の記号はΦφ(ファイ)ですが、τ(タウ)が使われることもあるんですね。⇒「黄金比 記号 τ」

あ💧 元の論文から脱線してるので戻ります。
『私たちはガーベラのオーキシンレポーター系統を調べ、…これらのパターンがどのように発達するかを理解しました。重要なプロセスは、苞の初期のパターン形成であり、苞は特定の順序で出現し、後続の苞や小花の配置をガイドします。このプロセスは、結球成長中の器官形成帯の拡大と収縮によって制御され、モデル植物のシロイヌナズナやトマトで広く研究されている葉序パターン形成とは異なります。』ほ~ 葉序パターン形成とは異なるんですか。

『最も一般的なタイプの葉序である螺旋葉序は、藻類から被子植物に至る植物界全体で観察されます。その際立った特徴は、(contact) parastichies と呼ばれる左右巻きの螺旋状に器官が配置されていることです。生物学と数学の注目すべき交差点では、parastichies の数は通常、フィボナッチ数列の2つの連続する要素 1、2、3、5、8、13、21、34、55、... です。』👈生物学では葉序がフィボナッチ数であることは公認の事実のようですね。

『葉序の説明の背後にある独創的なアイデアは、以前に形成された原基から十分に離れた場所に新しい原基が出現するというホフマイスターによるものです。』
『ファン・イターソンは、追加された臓器のサイズと比較してこの格子の周囲が徐々に増加すると、parastichies の数がフィボナッチ数列に従って増加することを示しました。この観察は、葉序におけるフィボナッチ数の普及を説明する現在の理論の基礎となっています。』
『このプロセスを捕らえようとする以前の試みでは、連続する原基間の黄金発散角をアプリオリに仮定する必要がありました』👈そうそう「アプリオリ」な仮定のある理論は納得できないのよね。

『最初、容器は「裸」であり、目に見える原基はありません(ステージ I)。その後、最大13個の苞原基がほぼ同時に出現します*レセプタクルの縁付近(ステージ II)。』👈あら、ほぼ同時なの!?
『頭が成長するにつれて、後続の原基が先に開始された原基の間に挿入され、古い隣接する原基に対してわずかに内側に配置されます (ステージ III から V)。次に、パターンの前面が徐々にヘッドのリムから遠ざかり、目に見える parastichies を伴う格子が始まり (ステージ VI)、最終的には収縮して格子がヘッドの中心まで伸びます (ステージ VII から IX)。parastichies の数は、逆フィボナッチ数列に従い、個別のステップで減少します。中心付近では、パターンが混沌となります (ステージ IX)。頭部表面全体が原基によって消費されると、パターン前面と中央ゾーンが消失します。』
Pnas2016304118fig02
『発生順序の興味深い要素は、ステージ II で容器の縁に最大 13 個の原基がほぼ同時に出現することです。』 ですよね。
でもね、この辺からちょっと要約するのが難しくなって😅
👇この興味深い画像(図4)の説明は原文または翻訳をじっくりお読みください。
Pnas2016304118fig04
👆この図の ( I ) は、ヘッドリム上に生成されたイニシアの分布をシミュレートし、DR5 画像に重ね合わせたもの
このシミュレーションの動画(Movie S1)もありますので、原文または翻訳をご覧ください。
Movie S2 拡大する円盤上の苞と小花の原基のパターン形成のシミュレーション もあります。parastichies がこんな風にできるんだ~と分る動画ですので、こちらも是非ご覧ください。

『観察された 56 個のヘッドのうち 45 個のイニシア数はフィボナッチ数でした』ということで、だいたいフィボナッチ数になるけれど、全部完璧にフィボナッチ数になるわけではありません。細胞の活動の結果ですから、そんなもんなのでしょうね。

このモデル/シミュレーションは『フィボナッチ数列への準拠は、黄金比などの特定のパラメーター値に大きく依存しません。』ということで、これまでのフィボナッチ数/黄金比ありき(アプリオリ)ではない説明なんですね。

『parastichies のフィボナッチ数は、初期原基の広範囲の横方向変位速度に対して堅牢に出現しますが、最適値から逸脱すると葉序格子の欠陥が増加します。』👈だからヒマワリの種の並びがフィボナッチ数からちょっとズレることが多いのかな?

まだこの論文の半分にも達していません💧 が疲れてきたので後はざっと流します😅

Movie S7 リアルにモデル化された小花原基を備えたガーベラの頭部における葉序パターンのシミュレーション
Movie S6 ガーベラの葉序パターンの変形
Movie S5 成長する receptacle上のガーベラの穂の葉序パターンのシミュレーション(上面図)
Movie S4 成長する receptacle上のガーベラの穂の葉序パターンのシミュレーション(側面図)

この論文は長いですけど、👆これらの動画を見るだけなら時間はかかりません。
そして、図9 モデルの検証 で
Pnas2016304118fig09
予測位置と観察位置の比較がなされていますが、このモデルが観察結果とこれだけよく一致するのだから、このモデルは「ガーベラの頭花の葉序パターン」を良く説明できるモデルということができます。

ところで、これで植物全般に 花びらの数=フィボナッチ数 と言えるか?というと、
フィボナッチ数でない 菜の花(アブラナ)の「4」があります!
Nanohana170325
① リングの中に最初1個でき
② 2個目は ちょっと横に移動する
③ 次は 大きい方の弧に新しいのができる
このルールをちょっと変えて…
Nanohana
① リングの中に最初1個できる
② アブラナの場合、2個目は1個目のちょうど反対側にできる
③ 1個目と2個目の間の弧はどちらも同じ大きさなので、どちらの弧にも新しいのができる
これで、4枚の花びらができます!
問題は、このままだと、4枚→8枚→16枚→…と際限なく花びらの枚数が増えてしまいますので
「どこで止めるか?」です。
4枚のアブラナに限らず、5枚の梅や桜も「停止条件」はどうなっているのでしょうね?
まぁ、これは新たな研究課題ですね。もう既に解明されてたりする?

さらに、八重桜の花びらの枚数は?
Yaezakura170416j
Movie S4 成長する receptacle上のガーベラの穂の葉序パターンのシミュレーション(側面図)を見ていると、八重の花も説明できそうですね。



私は「花びらの数はフィボナッチ数」という説明には批判的でした。
それは「花びらの数はフィボナッチ数」という説明のほとんどがフィボナッチ数ありき(アプリオリ:前提又は与件として疑うべきでないこと)として説明されているからです。そして「なぜ?」の説明が無い。その「なぜ?」を解明しようとしていたのが、今回のヒューマニエンスに出演していた近藤滋さん
波紋と螺旋とフィボナッチ
『波紋と螺旋とフィボナッチ』
この本で近藤滋さんは『数学者(数学愛好家)の解説は、あんまり納得できない』と言っていて、生物屋の目から見た答え(仮説)を考察している。これを読んだ私は「お~!なるほど~!!この仮説はかなり納得できる。面白い(*゚o゚*)」と思っていたが、決定版ではなかった。
それが、NHKヒューマニエンスで紹介された Phyllotactic patterning of gerbera flower heads|PNAS で、花びらの数=フィボナッチ数となる仕組みが解明されたという! これはもう🎉🎊ですね😃
ところで「花びらの数がフィボナッチ数になる」ということは昔から(経験的に)知られていたのでしょうね。でも「なぜ?」は解明されていなかった。だからこれは『花びらの数は(ほぼ)フィボナッチ数』仮説だったのではないか?と思った。四色問題大陸移動説みたいに、証明/実証されるまでは仮説だった。
その『花びらの数は(ほぼ)フィボナッチ数』仮説に納得のいく説明が与えられたのはミレニアム問題が解決された!みたいな感動ですね🎉🎊😃
しかも『細胞がフィボナッチ数列の計算を本当にやってた』というオチ😃
※『計算する宇宙』という考え方もあるから、細胞が計算していても驚かないけど🌿


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