PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方８面体、正８面体

2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう！』2回目 をやったとき、

PPバンドとトジックで他にもこんなボールを作ることができます。と展示しておいたのが…

大きな（ねじれ）20・12・60面体ボールの作り方はブログに載せたので、
小さい方の、立方８面体ボールと正８面体ボールの作り方も載せておきます。

見た目のインパクトはデッカイ方が大きいですが、幾何学的には20・12面体ボール→立方８面体ボール→正８面体ボールと小さくしていくと、そこに現れる関係が面白い🧐
↓こうなってます

大円(だいえん)とは『球面を，球の中心を通る平面で切った切り口の曲線。球を平面で切った切り口の曲線はすべて円となるが，そのなかで最も大きな円となることから，この名がある。』コトバンク ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
大円の分りやすい一例が「赤道」です。
20・12面体ボールの一つの大円を赤いPPバンドにすると…

…20・12面体ボールは６本の大円でできているのです。
20・12面体ボールの作り方をどう説明したらいいのだろう？ と考えていて…
正多面体（20・12面体は準正多面体）を説明するときは「対称性」に着目しなくちゃね。
そもそも今の作り方（三角形作って、五角形作って、下から上に組み上げていく）のは妥当か？
20・12面体ボールは6つの大円でできている。とある1つの大円を赤道として上下を見れば・・・
あ～！ 赤道から作れば劇的に分りやすく簡単になるじゃないか！！
…ということで、赤道（大円）から作る方法に変えました。

でね、作ってて思ったんですよ… 20・12面体を球面に投影すると、その辺は大円になり、6本の大円だけで構成されます。
他にも球面に投影したとき大円だけで構成される多面体はあるかな？
5種類の正多面体の中では、球面に投影したとき大円になるのは正８面体だけ。
※多面体を球面に投影したとき、その辺が大円になるためには、頂点に集まる辺の数が偶数でなければならない。←奇数だと折れ曲がってしまって大円にならない。
5種類の正多面体の中で頂点に集まる辺の数が偶数なのは正８面体しかない。

20・12面体は準正多面体なので、もう一つの準正多面体の立方８面体はどうだ？←大円だけで構成されますね～

他には？ 半正多面体 13種類→準正多面体2種を除いた11種類の内、頂点に集まる辺の数が偶数なのは… 斜方立方８面体、斜方20・12面体 があるが、大円ではなく小円になるのでハズレ💧

カラタンの立体（半正多面体の双対）では？
６方８面体 と ６方20面体 が大円だけで構成されるが、面が「正三角形」じゃなく「ただの三角形」なところが美しさに欠けるな～😅 それに、トジックで留められるPPバンドは３枚までなので、作ることができません💧
→※余談

・・・ということで、
多面体を球面に投影して大円だけで構成され、かつ各面が正多角形である多面体は、
20・12面体、立方８面体、正８面体 だけである。←それは確かか？ 証明しなきゃ！ なのですが、頭で考えるより、手作業による発見が楽しい私は、たぶんその証明を考えないので💧 どなたか証明したら教えてくださいませ😅

でね、大円だけで構成されるこれらのボールを『大円ボール』と呼ぶことにしたんですが、

作ってみると気になることが出てくる。
それが先ほど示した↓この表で…

大円の数：５ の大円ボールはできないのか？
大円の円周：４ の大円ボールはできないのか？
大円の数 ７以上、大円の円周 ６以上の大円ボールはできないのか？
↑
これ、気になるでしょ？ 気になった人は自由研究してみてね😊
これ、数学的に頭の中で考えるんじゃなくて、作ってみればわかる！ ので私向き😅
その結果は？ 長くなるので別途…

それより、大円ボールの作り方を載せておきます。
▼パーツ
▽20・12面体ボール

3穴PPバンド：30本、トジック：30個 →PPバンドに穴を開ける方法

▽立方８面体ボール

3穴PPバンド：12本、トジック：12個

▽正８面体ボール

3穴PPバンド：6本、トジック：6個

▼作り方
▽20・12面体ボール
次の記事を参照
2021/04/28 20・12面体ボールを作ろう！…手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する。
2021/04/30 20・12面体ボールの作り方…全30ステップを並べて見る＝頭の中を可視化する

20・12面体ボールを作ったら、立方８面体ボールと正８面体ボールを作るのは簡単ですから、こんな風に作ったよという参考程度の画像を載せておきます。

▽立方８面体ボール


完成形…

立方８面体ですから、正三角形８面と、正方形６面からなります。

▽正８面体ボール

PPバンドを三角形に組んで、２本繋がっている３本のバンドをそれぞれ輪にすれば、出来上がり。

正８面体ですから、正三角形８面で、大円は３つ

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※余談
ところで私、多面体の名前の数字は漢数字ではなくアラビア数字で表記する流儀なんですが…
だって「正二十面体」だと、数値の 20 が即座に認識できないのよ💧 「正20面体」と書いた方が分りやすいよね？ ね！😅
月を「12月」とアラビア数字で表記し、台風を「台風20号」のようにアラビア数字で表記する文化の日本なんだから、多面体の名前もアラビア数字で表記した方が分りやすいと思いません？！
でも「六方八面体」「六方二十面体」の「六方」には困った💧
「６方８面体」「６方20面体」ん～ しっくりこない💧 だいたい「六方」って何だよ？
六方八面体：hexakis octahedron
hexakis(ヘキサキス)：六方 ←解決せず💧
hexa-kis ⇒倍数接頭辞｜IUPACとCASの化合物命名法（主に有機化学）について｜貞廣知行 によりますと…『4以上は、数詞に -kis キスを添えて作る。』←これでも「六方」の意味はよく分らん💧 ６を表す接頭辞なのね。くらいの理解😅 ⇒倍数接頭辞 - Wikipedia
そこで「六方八面体」の形をもう一度よく見る…
あ～ 正８面体の正三角形の各面を６分割して頂点を持ち上げた形なのね。
正８面体は大円ボールになり、それにさらに３つの大円を加えると、六方八面体ボールができますね。
「六方」が何か分ってきたら、「６方８面体」←違和感がなくなって、こっちの方が分りやすく思えてきた😅
では、「六方二十面体」も、もう一度よく見る。
あ～ 正20面体の正三角形の各面を６分割して頂点を持ち上げた形なのね。
そして、正20面体の頂点に集まる辺は５本で奇数だから大円ボールにならなかったけど、分割して頂点に集まる辺が10本で偶数になったから大円ボールになるんだ！ ←ちょっと、この６方20面体ボールを作れたらスゴイんじゃない！？
作ってみたくなってきた😊 PPバンドが5本も重なるからトジックでは留められないから、どうする？ ←ここが課題

それと、もう一つ気付いた。
正８面体の正三角形の各面を６分割して頂点を持ち上げた形が、６方８面体で大円ボールになるのだが、同様に
立方８面体の正方形の各面を４分割して頂点を持ち上げたら、これも大円ボールになるよね。
20・12面体の正五角形の各面を５分割して頂点を持ち上げたら、これも大円ボールになる。
あら？ 面が正多角形であることにこだわらなければ、大円ボールになる多面体はいくらでもあるのか？ ←これは次の自由研究の課題候補ということで、そのうち…😅

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※関連記事
2021/08/10 PPバンド90本とドジック180個で作る（ねじれ）20・12・60面体ボール
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