PPバンドとドジックで作る楕円体ボール

こんなの↓できてしまった😃

「作りました」ではなく、
「できてしまった」なのは…
PPバンドとドジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方８面体、正８面体 で出てきた課題…

大円の数：５ の大円ボールはできないのか？
大円の円周：４ の大円ボールはできないのか？
大円の数 ７以上、大円の円周 ６以上の大円ボールはできないのか？
↑
これを試した結果です。

▼大円の円周：４ の大円ボールはできないのか？
「大円の円周」とは、大円ボールのパーツの

3穴のPPバンドの本数です。

赤道（赤いPPバンド）は、3穴のPPバンドが４本です。
赤道の上下に五角形と三角形を交互に作ると、
極は四角形になりました。

そして、作ってみて分ったんですが、赤道以外の（青い）PPバンドは円にならず、一本につながっているんです！
あ～それから、球体にならず、ラグビーボールのような縦長のボールになってしまいました。
球体ではないから「楕円体」ボールというタイトルにしましたが、このボールの長軸断面が本当に楕円になっているか？ は検証していません。そういうの苦手だから、たぶん検証はしません😅
まぁ、少なくとも赤道は円です。
赤道のPPバンドは４本。それ以外のPPバンドは20本です。
この（青の）うねうねPPバンドですが、なんか人工衛星の軌跡みたいですよね～😃
人工衛星の軌道が赤道に対して傾斜していると、それを地上に投影した軌跡は… 例えば、ISS なら
⇒ISSや人工衛星の地上軌跡が大きな波線のようにうねっているのはなぜですか？｜JAXA

▼大円の円周：６以上の大円ボールはできないのか？

こんな扁平なボールになってしまいました。
赤道が６本なので、極は六角形になります。

そして、このボールも注目点は赤道以外の（青い）PPバンドが～うねうね～うねうね～と 一本につながっていることです。

赤道のPPバンドは６本。それ以外のPPバンドは30本です。

ここまで作ると、７以上も予想がつきます。
赤道のPPバンドを７本にすると、極は七角形。
赤道のPPバンドを８本にすると、極は八角形。。。と、どんどん扁平な🍩ドーナツ状になっていきますね。

ということで、大円の円周：４ および、６以上の大円ボールはできない！ ←とは言い切れませんよね。
赤道の上下に五角形を作ってましたが、これを四角形にしたらどうなる？

▼赤道の円周：４で、上下を四角形にしたらどうなる？

こんな扁平になってしまった。しかも、赤道は円ではなく丸四角になってます。

もはやボールとは呼べません💧 「おにぎらず」（切る前）？😅
赤道以外の（青い）PPバンドは一本につながっています。

赤道の円周：６以上では扁平になってしまったから、一部を六角形にしたら上下に伸びない？
▼赤道の円周：６で、五角形と六角形を交互に並べてみたら…

ジャガイモ🥔ボールになってしまった😅

六角形があるとその部分が平面になるので、赤道部分は丸みをおびた三角形になってます。
そして、赤道以外の（青い）PPバンドは一本につながっています。

以上の結果から、大円の円周：４ および、６以上の大円ボールはできない！ ←とはまだ言い切れません。
「ない！」と言い切るには、数学的に証明しないと… でも、そういうの苦手だから💧
誰かこれに興味をもって、証明してみた！ら教えてね。

さて、私は「大円ボールになる／ならない」を色々作って試してみました。でも最終的には数学的な証明が必要で、証明されたらこの試作は無駄？ いえいえ、この試作の中から面白い結果が見つかってますよね。
「赤道以外の（青い）PPバンドは一本につながっています。」←これ面白い！ 私にとっては😃
赤道以外のPPバンドが一本につながっているということは、赤道のPPバンドと長い一本のPPバンドでこのボールを「編む」ことができるということです。ドジックを使わずに。
例えば、PPバンドとトジックで作る20・12面体ボールは

三角形部分の穴を一点に縮小し、PPバンドを「三すくみ」に組むと、トジックを使わずに「編む」ことができます。

ということで、次の自由研究課題が出てきてしまいました。
『赤道のPPバンドと長い一本のPPバンドで楕円体ボール編む』
あ、楕円体かどうかは「？」です。
それと、大円の数：５ の大円ボールはできないのか？ ←これは、作り方を思いつかないので「未解決問題」です💧

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※関連記事
2021/08/14 PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方８面体、正８面体
2021/08/10 PPバンド90本とドジック180個で作る（ねじれ）20・12・60面体ボール
2020/06/22 20・12面体ボールの作り方（まとめ）

PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方８面体、正８面体

2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう！』2回目 をやったとき、

PPバンドとトジックで他にもこんなボールを作ることができます。と展示しておいたのが…

大きな（ねじれ）20・12・60面体ボールの作り方はブログに載せたので、
小さい方の、立方８面体ボールと正８面体ボールの作り方も載せておきます。

見た目のインパクトはデッカイ方が大きいですが、幾何学的には20・12面体ボール→立方８面体ボール→正８面体ボールと小さくしていくと、そこに現れる関係が面白い🧐
↓こうなってます

大円(だいえん)とは『球面を，球の中心を通る平面で切った切り口の曲線。球を平面で切った切り口の曲線はすべて円となるが，そのなかで最も大きな円となることから，この名がある。』コトバンク ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典
大円の分りやすい一例が「赤道」です。
20・12面体ボールの一つの大円を赤いPPバンドにすると…

…20・12面体ボールは６本の大円でできているのです。
20・12面体ボールの作り方をどう説明したらいいのだろう？ と考えていて…
正多面体（20・12面体は準正多面体）を説明するときは「対称性」に着目しなくちゃね。
そもそも今の作り方（三角形作って、五角形作って、下から上に組み上げていく）のは妥当か？
20・12面体ボールは6つの大円でできている。とある1つの大円を赤道として上下を見れば・・・
あ～！ 赤道から作れば劇的に分りやすく簡単になるじゃないか！！
…ということで、赤道（大円）から作る方法に変えました。

でね、作ってて思ったんですよ… 20・12面体を球面に投影すると、その辺は大円になり、6本の大円だけで構成されます。
他にも球面に投影したとき大円だけで構成される多面体はあるかな？
5種類の正多面体の中では、球面に投影したとき大円になるのは正８面体だけ。
※多面体を球面に投影したとき、その辺が大円になるためには、頂点に集まる辺の数が偶数でなければならない。←奇数だと折れ曲がってしまって大円にならない。
5種類の正多面体の中で頂点に集まる辺の数が偶数なのは正８面体しかない。

20・12面体は準正多面体なので、もう一つの準正多面体の立方８面体はどうだ？←大円だけで構成されますね～

他には？ 半正多面体 13種類→準正多面体2種を除いた11種類の内、頂点に集まる辺の数が偶数なのは… 斜方立方８面体、斜方20・12面体 があるが、大円ではなく小円になるのでハズレ💧

カラタンの立体（半正多面体の双対）では？
６方８面体 と ６方20面体 が大円だけで構成されるが、面が「正三角形」じゃなく「ただの三角形」なところが美しさに欠けるな～😅 それに、トジックで留められるPPバンドは３枚までなので、作ることができません💧
→※余談

・・・ということで、
多面体を球面に投影して大円だけで構成され、かつ各面が正多角形である多面体は、
20・12面体、立方８面体、正８面体 だけである。←それは確かか？ 証明しなきゃ！ なのですが、頭で考えるより、手作業による発見が楽しい私は、たぶんその証明を考えないので💧 どなたか証明したら教えてくださいませ😅

でね、大円だけで構成されるこれらのボールを『大円ボール』と呼ぶことにしたんですが、

作ってみると気になることが出てくる。
それが先ほど示した↓この表で…

大円の数：５ の大円ボールはできないのか？
大円の円周：４ の大円ボールはできないのか？
大円の数 ７以上、大円の円周 ６以上の大円ボールはできないのか？
↑
これ、気になるでしょ？ 気になった人は自由研究してみてね😊
これ、数学的に頭の中で考えるんじゃなくて、作ってみればわかる！ ので私向き😅
その結果は？ 長くなるので別途…

それより、大円ボールの作り方を載せておきます。
▼パーツ
▽20・12面体ボール

3穴PPバンド：30本、トジック：30個 →PPバンドに穴を開ける方法

▽立方８面体ボール

3穴PPバンド：12本、トジック：12個

▽正８面体ボール

3穴PPバンド：6本、トジック：6個

▼作り方
▽20・12面体ボール
次の記事を参照
2021/04/28 20・12面体ボールを作ろう！…手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する。
2021/04/30 20・12面体ボールの作り方…全30ステップを並べて見る＝頭の中を可視化する

20・12面体ボールを作ったら、立方８面体ボールと正８面体ボールを作るのは簡単ですから、こんな風に作ったよという参考程度の画像を載せておきます。

▽立方８面体ボール


完成形…

立方８面体ですから、正三角形８面と、正方形６面からなります。

▽正８面体ボール

PPバンドを三角形に組んで、２本繋がっている３本のバンドをそれぞれ輪にすれば、出来上がり。

正８面体ですから、正三角形８面で、大円は３つ

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※余談
ところで私、多面体の名前の数字は漢数字ではなくアラビア数字で表記する流儀なんですが…
だって「正二十面体」だと、数値の 20 が即座に認識できないのよ💧 「正20面体」と書いた方が分りやすいよね？ ね！😅
月を「12月」とアラビア数字で表記し、台風を「台風20号」のようにアラビア数字で表記する文化の日本なんだから、多面体の名前もアラビア数字で表記した方が分りやすいと思いません？！
でも「六方八面体」「六方二十面体」の「六方」には困った💧
「６方８面体」「６方20面体」ん～ しっくりこない💧 だいたい「六方」って何だよ？
六方八面体：hexakis octahedron
hexakis(ヘキサキス)：六方 ←解決せず💧
hexa-kis ⇒倍数接頭辞｜IUPACとCASの化合物命名法（主に有機化学）について｜貞廣知行 によりますと…『4以上は、数詞に -kis キスを添えて作る。』←これでも「六方」の意味はよく分らん💧 ６を表す接頭辞なのね。くらいの理解😅 ⇒倍数接頭辞 - Wikipedia
そこで「六方八面体」の形をもう一度よく見る…
あ～ 正８面体の正三角形の各面を６分割して頂点を持ち上げた形なのね。
正８面体は大円ボールになり、それにさらに３つの大円を加えると、六方八面体ボールができますね。
「六方」が何か分ってきたら、「６方８面体」←違和感がなくなって、こっちの方が分りやすく思えてきた😅
では、「六方二十面体」も、もう一度よく見る。
あ～ 正20面体の正三角形の各面を６分割して頂点を持ち上げた形なのね。
そして、正20面体の頂点に集まる辺は５本で奇数だから大円ボールにならなかったけど、分割して頂点に集まる辺が10本で偶数になったから大円ボールになるんだ！ ←ちょっと、この６方20面体ボールを作れたらスゴイんじゃない！？
作ってみたくなってきた😊 PPバンドが5本も重なるからトジックでは留められないから、どうする？ ←ここが課題

それと、もう一つ気付いた。
正８面体の正三角形の各面を６分割して頂点を持ち上げた形が、６方８面体で大円ボールになるのだが、同様に
立方８面体の正方形の各面を４分割して頂点を持ち上げたら、これも大円ボールになるよね。
20・12面体の正五角形の各面を５分割して頂点を持ち上げたら、これも大円ボールになる。
あら？ 面が正多角形であることにこだわらなければ、大円ボールになる多面体はいくらでもあるのか？ ←これは次の自由研究の課題候補ということで、そのうち…😅

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※関連記事
2021/08/10 PPバンド90本とドジック180個で作る（ねじれ）20・12・60面体ボール
2020/06/22 20・12面体ボールの作り方（まとめ）

PPバンド90本とトジック180個で作る（ねじれ）20・12・60面体ボール

4つ穴のPPバンド90本とトジック180個で
↓こんなボールを作ってみました。

正六角形：20面
正五角形：12面
正三角形：60面 で構成されるので、
「20・12・60面体」と名付けてみた😅
ただし、各面が平面では作れないので（ねじれ）20・12・60面体ボール です⚽

なんでこんなものを作ったかというと…
2021/05/01 東芝未来科学館【リカタンず】『20・12面体ボールを作ろう！』2回目 をやったとき、

PPバンドとトジックで他にもこんなボールを作ることができます。と例示しておきたかったから🙂

20・12面体ボールと同じ3つ穴のPPバンドで、バンドの本数を減らしていくと…
20・12面体ボール：1周5本、五角形
立方８面体ボール：1周3本、四角形
正８面体ボール：1周2本、三角形　…という関係が幾何学的に面白いと思うのだが、その面白さを小学生に伝えるのは難しいので、こんなデッカイのも作れる！ というインパクトのあるやつを見せようと作ったわけ😃

プロジェクターにかざして影を作ると↓ちょっとアート🙂

イベントが終わったあと、これを部屋に置いておくのはかさばるから、バラしてしまいましたので💧
せめて制作過程を記録にとどめておきますね。

▼パーツを用意する

ドジック 凸180個 凹180個
4つ穴のPPバンド90本 →穴のあけ方

※組み立てる前に…
「手順を覚えるのではなく、仕組みを理解する」ことが大事ですので、このボールの仕組み（構造）を確認しておきましょう。
・正五角形12面と正六角形20面で構成されるのがサッカーボール＝切頂20面体
・このボールは切頂20面体の正五角形と正六角形の間に正三角形を挿入して膨らませたものである
・正五角形と正六角形の一辺の長さ１に対し、正三角形の一辺の長さは２
・正五角形の周りには５つの正三角形がある
・正六角形の周りには６つの正三角形がある
・正五角形の周りには(正三角形を間に挟んで)５つの正六角形がある
・切頂20面体を層状に分けると…
①正五角形(1面)
②正六角形(5面)
③正五角形(5面)
④正六角形(10面)
⑤正五角形(5面)
⑥正六角形(5面)
⑦正五角形(1面)
…と、なっていて、この順に組んでいきます。

▼①五角形に組む

※端の穴のPPバンドを下側にすると見た目がスッキリします。

▼五角形の周りに三角形を5つ組む

▼六角形を組む

▼六角形の周りに三角形を組む

▼②六角形は五角形の周りに５つ組む

↓ ★印で示した五角形の周りに(三角形を間に挟んで)六角形が５つありますね

▼③五角形を５つ組む

※丸くなってきて、新たに組んだ五角形が見えないので、ひっくり返します

↓ 五角形と六角形がどこにできているのかを示します

▼④六角形を10個組む

※その10個の六角形を示すのが困難なので、頭の中でイメージしてください😅

▼⑤五角形を５つ組む

※引き続き頭の中でイメージしてください😅
でも、次に組む ⑥六角形６つと ⑦五角形１つは見えてきてますね

▼⑥六角形６つと ⑦五角形１つを組む

矢印で示したようにPPバンドを組むと、六角形５つと五角形１つが同時にできます。

（ねじれ）20・12・60面体ボール 完成です！😃

切頂20面体は、対面の正五角形どうしは逆向きで、対面の正六角形どうしは同じ向きなのですが、
この 20・12・60面体ボールは（ねじれ）ているので…

六角形は同じ向きではなく、

五角形は同じ向きになってます。

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以前、twitterで見かけて「お～！高校生がデッカイ正多面体を作ってる～！」と感動してフォローした
『朋優プロジェクト』で、これと同じものを作ってました。

前回の続きです！本番は球体ではありませんが、模型は球体にしました！#朋優プロジェクト2019 pic.twitter.com/fmeWCXJ1WJ

— 朋優プロジェクト2021 (@hoyuproject) September 11, 2019

※トジックではなくハトメをつかっていますが、ハトメだと間違えたときにやり直すのが大変なんです💧 それを、180個もハトメでとめて… 頑張ったね！👏

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※関連記事
2021/08/14 PPバンドとトジックで作る「大円」ボール…20・12面体、立方８面体、正８面体

2020/06/22 20・12面体ボールの作り方（まとめ）

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※このボールの形状はテンセグリティと関連があるので、画像検索結果を眺めてみてください。
「90本 テンセグリティ」で画像検索
日本語の検索結果より、英語の検索結果の方がカッコイイ画像が出てくる😅
「90 struts Tensegrity」で画像検索

イサム・ノグチ＠東京都美術館で150灯の光の彫刻『あかり』インスタレーションを堪能してきた～

会場に入ってすぐ
『あかり』あかり、灯り、明り…

あかり（灯り）がいっぱいだ～😊

イイね～ 球体の灯りがいっぱいぶら下がって空間を満たしているの😊

回遊式の展示会場を歩き回り、あっちから📷、こっちから📷




150灯の光の彫刻「あかり」インスタレーションを堪能しました😊
さて、もう一回り…
↓入口の『黒い太陽』の穴から「あかり」を覗く


ところで、「あかり」の一灯一灯はイサム・ノグチの作品でしょうが、それをこれだけ感動のインスタレーションにした東京都美術館に拍手～👏👏👏

イサム・ノグチのAKARI が自宅にしっくりくるには… 広いリビングルームがないと💧 なので、
もう少しリーズナブルに「あかり」を楽しめるのが…

大人の科学「AKARI折り紙」です。
あ～↑これ2010年発売だから、もう中古でしかないのか？ 残念😢

え～ 私は「あかり」を堪能したので、他の作品については⇒「イサム・ノグチ 東京都美術館」の画像検索結果でご覧ください。って、「あかり」の画像ばかりですね～😅

では、「あかり」以外の作品でもう一品、私のチョイスは…

Play Sculpture
どこがイイかというと、↓この影です😊

また、この展示（ライティング）をした東京都美術館に拍手～😃

プレイ
スカルプチュア
1965-80年頃（製作 2021年）
鋼鉄
茨木放送

製作 2021年…この展覧会のために新規作成したそうなのですが、
「茨木放送」ってどういう関係？
⇒茨城放送所蔵のイサム・ノグチ「プレイスカルプチュア」を東京都美術館で展示、閉幕後は水戸M-SPOへ｜PETIMES
へ～ そうなんだ。

展覧会が8月29日に閉幕したあと、9月上旬に水戸市へ輸送され、南町三丁目の自由広場（M-SPO）に設置される予定です。
日常生活の中にアートを持ち込みたいという思いでノグチがデザインした、子どものための遊具彫刻の一つです。水戸に設置後は、よじ登ったり、またがったり、自由に遊ぶことができるようになります。

お～！それは、彫刻と遊びに行きたいな😊

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※関連記事
2012/05/01 大人の科学「AKARI折り紙」は十二・二十面体と立方八面体
2016～ 府中・街中のオブジェ
※東京都美術館に行った記事
2020/02/01 『最後の秘境 東京藝大』の卒展に行ったら、足が棒になるほど面白かった～
2021/01/29 藝大卒展2021 お気に入りの25作品（76枚の画像）
2021/03/02 JOSHIBISION 2020（女子美術大学卒業制作展）に行ってきた
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