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2020年6月19日 (金)

PPバンドとトジックで作る(ねじれ)20・12面体ボール(小三角・大五角Ver.)

30本のPPバンドと、60個のトジック
2種類の(ねじれ)20・12面体ボールを作りました。

小五角・大三角Ver.)と
T20p12ball12aP12t20ball15
小三角・大五角Ver.)です。
この2つのボールのパーツは同じ。組み方が違うだけ。
何が違うかというと、三角形と五角形の大きさ。

(ねじれ)20・12面体ボール(小五角・大三角Ver.)を作っていて、三角形と五角形の大・小を入れ替えると違うボールになるね! と気づいたので作ってみた。
パーツのサイズは同じなのに、出来上がりの大きさはかなり違う。
P12t20ball22

では、(小三角・大五角Ver.)の作り方…
■用意するもの
P12t20ball00
・PPバンド:13.5cmに切り、4cm間隔に4個のパンチ穴をあけたもの:30本
・トジック:60個
詳細は→2穴パンチでPPバンドの中心に穴をあける方法…(ねじれ)20・12面体ボールを作る準備

■組み立て方
組み立てる前に次のことを頭に叩き込んでおいてください。
・このボールは、五角形12個と三角形20個で構成される。
・三角形の辺の長さはPPバンド1/3
・五角形の辺の長さはPPバンド2/3
・三角形の周りに五角形が3個接する。
・五角形の周りには三角形5個と五角形5個が交互に接する。
・PPバンドをトジックで留めるときは、PPバンドの端の穴が下、中の穴が上。(これは見た目をよくするため)
※以上のルールを適用していけば、このボールは作れます。
 パズルが好きな人は、上記のルールだけで作れるか試してみてください。
 以下に組み立て手順の一例を示します。

▼まずは3本のPPバンドで三角形を作ります。
P12t20ball01
▼引き続き三角形を作り…
P12t20ball02
P12t20ball03
P12t20ball04
↓矢印で示したところをつなげて、
P12t20ball04a
▼五角形にします。
P12t20ball05
五角形の周りに三角形が5個あります。
五角形の周りには三角形5個と五角形5個が交互に接するので、
↓星印で示したところに五角形を組んでいきます。
P12t20ball05a

▼五角形を順に追加していきます。
P12t20ball06
P12t20ball07
P12t20ball08
※外側から見ていると、だんだんと丸くなって次に組むところが見えにくくなるので、ひっくり返して内側から見ます。
P12t20ball09
↓矢印で示したところをつなげて、
P12t20ball09a
▼五角形の周りに5個の五角形ができました。
P12t20ball10

さて、下図の△で示した三角形に注目すると、
P12t20ball10a
各々の三角形の周りには五角形が2つずつできています。
三角形の周りに五角形が3個接するので、
↓星印で示したところに五角形を組んでいきます。
P12t20ball10b

ここから先は画像で分かりやすく示すことができないのですが、まぁ一応、画像を並べておきます。
ここまでで半分はできてますから「その調子!」で頑張って作ってね(^o^)

P12t20ball11
P12t20ball12
P12t20ball13
ここで30本のPPバンドをすべて使い切りました。
3本のPPバンドがまだ閉じていません。トジックは3個残っています。
3本のPPバンドを下図のようにつなげると…
P12t20ball13a
三角形が1つと、五角形が3つでき、
P12t20ball14
全てのPPバンドが閉じて完成です!
P12t20ball20



(ねじれ)について
正五角形 12面と、正三角形 20面で構成される多面体と言えば『二十・十二面体』です。
二十・十二面体は、正十二面体または正二十面体の各頂点を辺の中心まで切り落とした立体です。
正十二面体と正二十面体の、とある面の対面を見ると…
Rp12rp20
正十二面体の五角形の反対側の五角形は向きが逆になってます。
正二十面体の三角形の反対側の三角形も向きは逆になってます。
だから、二十・十二面体の五角形および三角形の反対側の面は逆向きになってます。
ところが、このボールは…
P12t20ball15
同じ向きなのです!
これは、正12面体なら五角形3面が集まる頂点に、このボールでは三角形が入り込んでいるために、ちょっと「ねじれ」てます。
P12t20ball10
また、正五角形3面でできる頂点を、ちょいとずらして正三角形の入るスペースを作ろうとしても…
P3nejire
…各面の辺をぴったり接することができないんです(^^;
ということで、このボールの五角形・三角形は「ねじれ」ているので、
(ねじれ)20・12面体ボール と名付けました。


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2020/06/20 PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール
2020/06/21 PPバンドとトジックで作る 20・12面体ボール(PPバンド6本Ver.)


※2022/02/26追記
コメント にて、
Wikipadiaの正四面体の「正四面体から作られる図形」に
正二十面体(各面をねじる)
正十二面体(各頂点をねじる)
と書いてあり、正直言ってよくわからない。👈私もWikipadiaを読んだけどよくわからない💧
と言う事で、この記事に辿り着いたのですが、
記事を読んでねじれ違いだと気づきました。
ですが、サイトが「正多面体クラブ」なので、
どうやっているのか教えていただけないかなと…。
あ~💧 こういう質問きちゃったよ~ どうしよう💦
このブログを始めるときに「正多面体クラブ」なんて名前つけちゃっていいの? と迷ったんですけど、正多面体を楽しく作ろう!という「クラブ活動」のノリで『正多面体クラブ』です😅
でも、そう名乗っちゃったから、この問いの答えを考えてみなくちゃね。

正四面体をねじって、正二十面体、正十二面体に変形するのは、足りない面は「無から有を生み出す」ことになるのでイメージしにくい。そこで、正二十面体をねじって正四面体にするなら、不要な面を縮退させて無にすればできるんじゃない? という発想で…
204hedron
正二十面体の20面のうち4つの面に印をつけた。この4つの正三角形は間に2つの正三角形を介して離れている。この間にある正三角形の辺をだんだんと短くしていくと~
ほら、4つの面がねじれながら正四面体になった! ってイメージできましたか?
※こういうの、CGアニメーションで示すことができれば分りやすいのですけどね。私にはまだそのスキルがない💧→ブログに「そのうち」と書いて、やってないものリスト

え~と、正十二面体の方も同様に
正十二面体は「各頂点をねじる」ので…
124hedron
正十二面体の20個の頂点のうち4つの頂点に印をつけた。この4つの頂点は間に2つの頂点:3本の辺を介して繋がっている。この間にある3本の辺を、真っ直ぐな1本の辺に引き伸ばすと~
ほら、4つの頂点がねじれながら正四面体になった! (正五角形の3つの面が、1つの正三角形になった)ってイメージできましたか?

…とまぁ、こういうことなのでしょう。一応解決😊
そして自分の「課題」を再認識😅


あれ? 頂点をねじってない💧
正五角形の3つの面を1つの正三角形にすると…
Tripenta
正五角形は👆このような五角形に変形するのだが、その変形過程でねじってない。頂点を引っ張ってるだけ。
正十二面体⇒正四面体の変形では、4つの頂点を外側に引っ張り、3つの正五角形を1つの正三角形にする。
正四面体⇒正十二面体の変形では、4つの頂点を内側に押し込み、正三角形を3つの五角形に分割し、五角形を正五角形にする。
こんなイメージで 正四面体⇔正十二面体の「変身!」をするのでしょうね。
すると、Wikipadiaの「正四面体から作られる図形」にある『正十二面体(各頂点をねじる)』という表現は違うんじゃない? って思いますけど😅

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コメント

正多胞体を調べていてここに来ました。
このサイトの正多面体みたいに、
正多胞体の作り方6種類もネットにありそうだと思ったのですが、
…ないんですよね。

そして正多面体の方も色々見てたら、
ウィキの正四面体の記事の下の方に「正四面体から作られる図形」というのがあり、
正二十面体(各面をねじる)
正十二面体(各頂点をねじる)
と書いてあり、正直言ってよくわからない。
と言う事で、この記事に辿り着いたのですが、
記事を読んでねじれ違いだと気づきました。
ですが、サイトが「正多面体クラブ」なので、
どうやっているのか教えていただけないかなと…。

逆の過程ですが、
菱形十二面体は六角形に見えている時の中心の頂点を削ると、
正四面体になりそうだと思うのですが
正十二面体は皆目見当が付きません。
三角形4つを五角形4つにする正二十面体はもっと見当が付きません。
ねじるってなんだろう…。
よろしくお願いします。

こちらのサイト「正多面体は作ってみると面白い」から始めたブログで、数学的な興味から始めたんじゃないので、数学的には弱いです💧
> 記事を読んでねじれ違いだと気づきました。
はい、そうです。
この多面体みたいなボールを作ってから見てると、なんか「ねじれ」てるよね~
これ何だろう? と🔍してみると…
「ねじれ正多面体」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%81%AD%E3%81%98%E3%82%8C%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93
が出てきて、何でこれが正多面体なのか? しかも「ねじれ」なのか? さっぱり分らない私です💧
だから、このブログ記事で「ねじれ」という言葉を使ってよいのか躊躇した末、カッコつきの(ねじれ)です😅

> ウィキの正四面体の記事の下の方に「正四面体から作られる図形」というのがあり、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93#%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93%E3%81%8B%E3%82%89%E4%BD%9C%E3%82%89%E3%82%8C%E3%82%8B%E5%9B%B3%E5%BD%A2
へ~ こんなのあったんだ。2021年9月7日に追加されていますね。

> 正二十面体(各面をねじる)
> 正十二面体(各頂点をねじる)
ん~ どうやるんでしょうね?
正多面体は何らかの操作で互いに変形可能なようなので、どうやるのか?興味はある
そこで、正20面体と正12面体の模型を取り出して、その内の4つの面、4つの頂点に印をつけて眺めていたら、こうやるのかな~と見えてきた!
図解しないと伝わらないので、ブログ記事の方に画像と説明を追加しておきますね。

あ、それと Wikipediaの正二十面体には『正六面体や正十二面体に対する捩じり切り操作と同様の操作を正四面体に対して行うことでも得られる』とあり、「捩じり切り」のリンク先は⇒変形立方体でした。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%89%E5%BD%A2%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93
ねじって間に正三角形を入れるようです。
それと、菱形十二面体については、Wikipadiaの「切稜立方体」の「正多面体の切稜」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%87%E7%A8%9C%E7%AB%8B%E6%96%B9%E4%BD%93#%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93%E3%81%AE%E5%88%87%E7%A8%9C
に菱形十二面体が出てきますのでご覧ください。

解説ありがとうございます。
6時間でコメントが返せるってすごいと思います。
>あ~、こういう質問きちゃったよ~どうしよう
招かれざる客でしたか?すみません。

>あれ? 頂点をねじってない
4つの頂点を外側に引っ張り1本の辺にピンと張るのと、
4つの頂点を内側に押し込み3本の辺に弛ませるのは、
4つの頂点をねじって1本の辺にまっすぐにするのと、
4つの頂点をねじって3本の辺に折り曲げるのは、
同じだと思います。
とりあえず本当に変形できるのかは、
手を動かしていないので確証は得られませんが、
正十二面体はできそうだと思いました。
ただ、正二十面体がいまいちイメージできませんでした。
コメントを書き込んだ後に知ったのですが、
角柱をねじって反角柱、
双角錐をねじって反双角錐
面をねじるってこんな感じなんですね。
粘土でもかってみるかな。

質問を書いたものです さん
>> あ~、こういう質問きちゃったよ~どうしよう
> 招かれざる客でしたか?すみません。
いえいえ、こういう質問が刺激になって、新たな発想のきっかけになることがありますから、「いい質問ですね~」でした。

> 面をねじるってこんな感じなんですね。
面をねじって多面体を変形させる Juno's Spinner というものがあります。
↓こちらをご覧ください。
連動して変形する多面体 Juno's Spinner
http://www.polyhedra.jp/polyhedron/js/index-j.html
多面体おもちゃ > Juno's Spinner
http://www1.ttcn.ne.jp/a-nishi/junos/junos.html

Juno's Spinner では面をねじる=回転させると、回転方向により
多面体が膨らむ(面が多面体の中心から外側に移動)
多面体が縮む(面が多面体の中心に向かって移動)しますが、
このとき物理的に加えている力は回転だけです。
中心から外側/内側へ引っ張る/押し込む力は加えなくてもリンク機構を介して、中心から外側/内側へ移動します。

さて、正十二面体⇔正四面体の変形機構を物理的に作れたとして、変形するときに物理的に加える力は 中心から外側/内側へ引っ張る/押し込む力 だけで、回転はしないのでは? と思うのですよ。

で、これを書いていて思った…
正二十面体⇔正四面体の変形をする Juno's Spinner は作れないものだろうか?
…というように、コメントでの質問が新たな発想のタネになることもあるので、
「いい質問」でした。

※コメントでの質問をきっかけに作った例↓
ジオデシックボール(ストロー80面体)を作る
https://polyhedra.cocolog-nifty.com/blog/2018/08/80-f07e.html

※正十二面体⇔正四面体の変形をする Juno's Spinner は?
回転しないのなら Juno's Spinner 的な機構ではないな。
それに、3枚の正五角形⇔1枚の正三角形に変形する物理的機構をどうやって作る?
↑これを考えるより、CGを作るスキルを身につける方がいいかな😅

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