平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!…なぜ?
平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!?…作ってみようで3種類の三角形で平面充填する万華鏡を作ってみました。万華鏡を色々作って、正三角形以外の鏡の組み合わせを考えてみると…
平面充填する万華鏡の三角形は
▼正三角形(60°60°60°)
▼直角二等辺三角形(90°45°45°)
▼直角三角形(90°60°30°)
この3種類しかないよね~ と経験的に分かってくるんですが、でも何で3種類しかないの?
平面充填 - Wikipedia には…『全ての三角形は平面充填可能である。』と書かれています。でも「平面充填する万華鏡」になるのは3種類だけなんです。
「なぜ?」と思うでしょ。
そこんとこ、説明しますね。
まずは「任意の三角形は平面充填する」ってとこから…
任意の三角形を一つ描き、
それをコピーして180°回転して、とある一辺でくっつけると…
外形は平行四辺形になります。
全ての平行四辺形は平面充填可能です。
↓こんな風に…
だから、任意の三角形は平面充填可能なんです。
でも、この任意の三角形で鏡を組むと「平面充填する万華鏡」にはならないんです。
なぜか?
任意の三角形2つで平行四辺形にするとき「180°回転」しましたね。
でも鏡に映る象は「180°回転」するんじゃなく、
鏡面を軸として「反転」します。
↓こんな風に…(赤い線が鏡面を示します)
もう1枚鏡を追加して「合わせ鏡」にすると~
合わせ鏡の間にあるパターンが、それぞれの鏡で反転・反転・反転…を繰り返し~
合わせ鏡の角度が任意の角度だと、まぁたいてい鏡像が重なってしまうんですね(^^;
これだと万華鏡にならない!←それは見る人の感性で「鏡像が重なってても綺麗ならいいじゃん」という見方と、
「鏡像はピッタリ整数回繰り返さなきゃダメ!」という見方がある。
「正多面体クラブ」としては、当然「ピッタリじゃなきゃダメ!」です。(^o^)
さらに「鏡像はピッタリ整数回繰り返さなきゃダメ!」だけじゃなくて、
「偶数回」でなければダメです。
「奇数回」だと、例えば5回の場合…
さぁ困った(^^;
でも6回だと…
ピッタリ(^o^)v
さて、ピッタリ「平面充填する万華鏡」の条件が見えてきましたね。
三角形の各頂点での繰り返し数を 2n, 2m, 2p とすると、
各頂点の角度は 360/2n, 360/2m, 360/2p
三角形の内角の和は180°だから、
360/2n+360/2m+360/2p=180
180/n+180/m+180/p=180
1/n+1/m+1/p=1
この等式を満たす整数解は…
この3つだけ。
だから、平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!なんです。
※この証明、こちらのページを参考にしてます。
⇒数学月間の会SGK > とっとりサイエンスワールド2014in米子←ん~ かなり万華鏡を科学・数学しててスゴイです!
へ~ このイベントは日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究(鳥取)大会とコラボで実施されたんですか。それで、こんなに数学してるのか~ その辺のサイエンスイベントの万華鏡作りとはレベルが違うね。
※万華鏡はディヴィッド・ブリュースターがガラス板間の連続反射による光の偏光の実験の中で発明し、1817年に特許を取得したのですが、残念ながら、特許取得前にパクられ、わずか3カ月でロンドンとパリで推定20万個のバッタもんの万華鏡が売れたそうです💧
この万華鏡の歴史については 英語版WikipediaのKaleidoscope に詳しく記されているので、⇒このページを訳す
英語版WikipediaのKaleidoscope を見ると、ディヴィッド・ブリュースターが書いたカレイドスコープに関する論文(1819)で様々なバージョンを提案しており、
↓こういう図も書いてます。
お~!3種の三角形が示されてますね~
※関連記事
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2013/02/02 ラビリンスボックス(立方体の空間充填万華鏡)の作り方
※立方体で「空間充填する万華鏡」がつくれるなら、「菱形12面体」でも作れるよね?
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コメント
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30°30°120°って平面充填しませんか?
投稿: 妖精たそ | 2023年10月26日 (木) 10時51分
妖精たそ さん
> 30°30°120°って平面充填しませんか?
あ!平面充填するじゃん💧 何で見落とした? と、記事の証明過程を読み直してみました。
妖精たそさんも、もう一度読み直してくださいね。
「鏡像はピッタリ偶数回繰り返さなきゃダメ!」です。
120°のところの鏡像が3回で奇数回なのでダメなのです。
投稿: 正多面体クラブ | 2023年10月26日 (木) 20時54分