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2019年11月28日 (木)

平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!…なぜ?

平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!?…作ってみようで3種類の三角形で平面充填する万華鏡を作ってみました。万華鏡を色々作って、正三角形以外の鏡の組み合わせを考えてみると…
平面充填する万華鏡の三角形は
正三角形(60°60°60°)
Kaleidoscopemirro606060
直角二等辺三角形(90°45°45°)
Teleidoscopemirro904545
直角三角形(90°60°30°)
Teleidoscopemirro906030
この3種類しかないよね~ と経験的に分かってくるんですが、でも何で3種類しかないの?
平面充填 - Wikipedia には…『全ての三角形は平面充填可能である。』と書かれています。でも「平面充填する万華鏡」になるのは3種類だけなんです。
「なぜ?」と思うでしょ。
そこんとこ、説明しますね。

まずは「任意の三角形は平面充填する」ってとこから…
任意の三角形を一つ描き、
Kaleidoscopet01
それをコピーして180°回転して、とある一辺でくっつけると…
Kaleidoscopet02
外形は平行四辺形になります。
全ての平行四辺形は平面充填可能です。
↓こんな風に…
Kaleidoscopet02a
だから、任意の三角形は平面充填可能なんです。

でも、この任意の三角形で鏡を組むと「平面充填する万華鏡」にはならないんです。
なぜか?
任意の三角形2つで平行四辺形にするとき「180°回転」しましたね。
でも鏡に映る象は「180°回転」するんじゃなく、
鏡面を軸として「反転」します。
↓こんな風に…(赤い線が鏡面を示します)
Kaleidoscopet02b
もう1枚鏡を追加して「合わせ鏡」にすると~
合わせ鏡の間にあるパターンが、それぞれの鏡で反転・反転・反転…を繰り返し~
Kaleidoscopet02c
合わせ鏡の角度が任意の角度だと、まぁたいてい鏡像が重なってしまうんですね(^^;
これだと万華鏡にならない!←それは見る人の感性で「鏡像が重なってても綺麗ならいいじゃん」という見方と、
「鏡像はピッタリ整数回繰り返さなきゃダメ!」という見方がある。
「正多面体クラブ」としては、当然「ピッタリじゃなきゃダメ!」です。(^o^)

さらに「鏡像はピッタリ整数回繰り返さなきゃダメ!」だけじゃなくて、
「偶数回」でなければダメです。
「奇数回」だと、例えば5回の場合…
Kaleidoscopet05
さぁ困った(^^;
でも6回だと…
Kaleidoscopet06
ピッタリ(^o^)v

さて、ピッタリ「平面充填する万華鏡」の条件が見えてきましたね。
三角形の各頂点での繰り返し数を 2n, 2m, 2p とすると、
各頂点の角度は 360/2n, 360/2m, 360/2p
三角形の内角の和は180°だから、
360/2n+360/2m+360/2p=180
180/n+180/m+180/p=180
1/n+1/m+1/p=1
この等式を満たす整数解は…
Kaleidoscopet07
この3つだけ。
だから、平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ!なんです。

※この証明、こちらのページを参考にしてます。
万華鏡・数学まつり > とっとりサイエンスワールド2014in米子←ん~ かなり万華鏡を科学・数学しててスゴイです!
へ~ このイベントは日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究(鳥取)大会とコラボで実施されたんですか。それで、こんなに数学してるのか~ その辺のサイエンスイベントの万華鏡作りとはレベルが違うね。

万華鏡は『ディヴィッド・ブリュースター偏光の実験の途中で発明し、1817年に特許を取得した。』のですが、英語版WikipediaのKaleidoscope を見ると、ディヴィッド・ブリュースターが書いたカレイドスコープに関する論文(1819)で様々なバージョンを提案しており、
↓こういう図も書いてます。
1819_brewster__treatise_on_the_kaleidosc
お~!3種の三角形が示されてますね~



※関連記事
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2015/11/14 サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』で、ビー玉万華鏡96セット
2019/04/24 『ミラーシステム』は万華鏡の「仕組み」ではありません
2019/04/21 『テーパードミラーのビー玉万華鏡』の作り方

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2013/02/02 ラビリンスボックス(立方体の空間充填万華鏡)の作り方
※立方体で「空間充填する万華鏡」がつくれるなら、「菱形12面体」でも作れるよね?
2013/03/10 菱形12面体ラビリンスボックス(空間充填万華鏡)

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