平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ！…なぜ？

平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ！？…作ってみようで3種類の三角形で平面充填する万華鏡を作ってみました。万華鏡を色々作って、正三角形以外の鏡の組み合わせを考えてみると…
平面充填する万華鏡の三角形は
▼正三角形（60°60°60°）

▼直角二等辺三角形（90°45°45°）

▼直角三角形（90°60°30°）

この3種類しかないよね～ と経験的に分かってくるんですが、でも何で3種類しかないの？
平面充填 - Wikipedia には…『全ての三角形は平面充填可能である。』と書かれています。でも「平面充填する万華鏡」になるのは3種類だけなんです。
「なぜ？」と思うでしょ。
そこんとこ、説明しますね。

まずは「任意の三角形は平面充填する」ってとこから…
任意の三角形を一つ描き、

それをコピーして180°回転して、とある一辺でくっつけると…

外形は平行四辺形になります。
全ての平行四辺形は平面充填可能です。
↓こんな風に…

だから、任意の三角形は平面充填可能なんです。

でも、この任意の三角形で鏡を組むと「平面充填する万華鏡」にはならないんです。
なぜか？
任意の三角形２つで平行四辺形にするとき「180°回転」しましたね。
でも鏡に映る象は「180°回転」するんじゃなく、
鏡面を軸として「反転」します。
↓こんな風に…（赤い線が鏡面を示します）

もう1枚鏡を追加して「合わせ鏡」にすると～
合わせ鏡の間にあるパターンが、それぞれの鏡で反転・反転・反転…を繰り返し～

合わせ鏡の角度が任意の角度だと、まぁたいてい鏡像が重なってしまうんですね(^^;
これだと万華鏡にならない！←それは見る人の感性で「鏡像が重なってても綺麗ならいいじゃん」という見方と、
「鏡像はピッタリ整数回繰り返さなきゃダメ！」という見方がある。
「正多面体クラブ」としては、当然「ピッタリじゃなきゃダメ！」です。(^o^)

さらに「鏡像はピッタリ整数回繰り返さなきゃダメ！」だけじゃなくて、
「偶数回」でなければダメです。
「奇数回」だと、例えば5回の場合…

さぁ困った(^^;
でも6回だと…

ピッタリ(^o^)v

さて、ピッタリ「平面充填する万華鏡」の条件が見えてきましたね。
三角形の各頂点での繰り返し数を 2n, 2m, 2p とすると、
各頂点の角度は 360/2n, 360/2m, 360/2p
三角形の内角の和は180°だから、
360/2n＋360/2m＋360/2p＝180
180/n＋180/m＋180/p＝180
1/n＋1/m＋1/p＝1
この等式を満たす整数解は…

この3つだけ。
だから、平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ！なんです。

※この証明、こちらのページを参考にしてます。
⇒万華鏡・数学まつり > とっとりサイエンスワールド2014in米子←ん～ かなり万華鏡を科学・数学しててスゴイです！
へ～ このイベントは日本数学教育学会第96回全国算数・数学教育研究（鳥取）大会とコラボで実施されたんですか。それで、こんなに数学してるのか～ その辺のサイエンスイベントの万華鏡作りとはレベルが違うね。

※万華鏡は『ディヴィッド・ブリュースターが偏光の実験の途中で発明し、1817年に特許を取得した。』のですが、英語版WikipediaのKaleidoscope を見ると、ディヴィッド・ブリュースターが書いたカレイドスコープに関する論文（1819）で様々なバージョンを提案しており、
↓こういう図も書いてます。

お～！3種の三角形が示されてますね～

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※関連記事
2010/04/24 万華鏡の仕組み（合わせ鏡）
2015/11/14 サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』で、ビー玉万華鏡96セット
2019/04/24 『ミラーシステム』は万華鏡の「仕組み」ではありません
2019/04/21 『テーパードミラーのビー玉万華鏡』の作り方

※万華鏡の特徴の一つが「平面充填」であるなら、「空間充填」の万華鏡もできるんじゃない？
2013/02/02 ラビリンスボックス（立方体の空間充填万華鏡）の作り方
※立方体で「空間充填する万華鏡」がつくれるなら、「菱形12面体」でも作れるよね？
2013/03/10 菱形12面体ラビリンスボックス（空間充填万華鏡）

平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ！？…作ってみよう

一番ポピュラーな万華鏡は、幅の等しい3枚の鏡を正三角形に組んだものです。
この3枚の鏡で「無限」の繰り返しが現れる仕組みを→万華鏡の仕組み（合わせ鏡）で説明しています。

万華鏡の仕組み（合わせ鏡）で…
平面を隙間なく埋め尽くす図形を「平面充填図形」と言います。３枚の幅の等しい鏡を組み合わせてできる「正三角形」は平面充填図形です。正三角形以外の平面充填図形でも万華鏡は作れるのでしょうか？ 調べて、実際に万華鏡を作ってみると、新しい発見があって、これがなかなか楽しいんです(^_^)
正三角形以外の万華鏡についての説明は Coming Soon?（いつになることやら(^^;）
…と 2010/04/24 に書て、もう9年も経ってるよ～（汗；）

平面充填する万華鏡の三角形は3種類あります。
▼正三角形（60°60°60°）

▼直角二等辺三角形（90°45°45°）

▼直角三角形（90°60°30°）

何でこの3種類だけなの？とは思うが、それは後で考えるとして～
まずは作ってみましょう。
上のミラーの写真は サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』で作ったもの。
一般的に万華鏡の鏡は筒に入っていて、小さな覗き穴から覗くので、中のミラーがどう組まれているか見えません。でも「万華鏡の科学/幾何学」をするときは、鏡の形が重要なので、覗き穴は省いています。
さらに、筒（紙管）も無くてもいい。ビー玉万華鏡なら、ミラーとビー玉とビニールテープだけで作れるから、（材料を用意しておけば）3種類の万華鏡を組み立てるのは簡単です。

■ 用意するもの

◆ ポリカーボネイトミラー：0.5mm厚　15cm×20cm
※東急ハンズで30cm×30cmのミラーを買ってくると、3種類の万華鏡を2セット作れます。
◆ ビー玉：直径25mm クリア 3個
※ここでは東急ハンズ CM-9 10個入り\350 を使っています。
◆ ビニールテープ：16.5cm 9枚

※ビニールテープはミラーの長さ15cm＋ビー玉を貼るのりしろ1.5cm＝16.5cmです。
予め所定の長さに切って、カッティングマットに貼り付けておくと、科学イベントなどで多人数に対応するとき、組み立て時間が短縮できます。

■ ミラーカット
正三角形の万華鏡はミラーを3枚同じ幅にカットすればいいので、1cm方眼のカッティングマットの上にミラーを置いて、長さ15cm、幅2cmに3枚カットします。
でも、直角二等辺三角形（90°45°45°）の場合は、一番長い辺の長さをＬとすると、他の2辺の長さは Ｌ×cos(45°)ですし、直角三角形（90°60°30°）の場合は、Ｌ×cos(60°)とＬ×cos(30°)です。
内径30mmの紙管の中に入るように Ｌ=28mmとすると、三角形の3辺の長さは…
直角二等辺三角形（90°45°45°）は、28mm, 19.8mm, 19.8mm
直角三角形（90°60°30°）は、28mm, 14mm, 24.2mm です。
1cm方眼のカッティングマットの上に置いてカットできるものではありません。
ではどうするか？
予め紙に所定の幅の線を描いておきます。でも、定規と鉛筆で0.1mm精度の線は描けませんから、CADで描きます。
↓CADで描いた「万華鏡ミラーカット台紙」のPDFです。
・万華鏡ミラーカット台紙：90°45°45°.pdf
・万華鏡ミラーカット台紙：90°60°30°.pdf
このPDFをA4の紙に印刷し、15cm幅にカットしたポリカーボネイトミラーを「万華鏡ミラーカット台紙」の上に置いて、カッターで切ります。


0.5mm厚のポリカーボネイトミラーは普通の力ではカッターを1回引いても切れません。でも2回も3回もカッターを引く必要はありません。カッターで1回切れ目を入れたら、あとは切れ目を広げるように折り曲げればポリカーボネイトミラーを切り離せます。
注：カッターで切れ目を入れるのは、ミラー面に保護シートが貼ってある側です。反対側に切れ目を入れると、折り曲げて切り離すとき、保護シートがつながったままで、保護シートが剥がれてしまいますから。
※科学イベントなどで多人数に対応するときは、1枚1枚切り離してしまわず、3枚セットで切り離しておきます。こうすると何人分の材料を用意したか数えやすいし、取り扱いも楽です。3枚セットのミラーを1枚1枚切り離すのは実際に組み立てるとき…「水色の面（保護シートの無い側）を上にして、折り紙を折るように折り曲げれば、ミラーが切り離せるよ。」←これで子供たちも楽々ミラー切り離せます。

■ 正三角形のビー玉万華鏡の組み立て方
◆ 長方形のミラーを3枚、青い裏側を上にしてピタッと並べます。

◆ ミラーの合わせ目にビニールテープを貼ります。

15cmのミラーに対し、ビニールテープは16.5cmの長さなので、
ビニールテープは片方の端をミラーの端に合わせ、もう一方の端は1.5cmはみ出します。
◆ ビニールテープを1枚、2枚貼ったら、3枚目は1枚目と2枚目の隙間と同じ間隔を開けて貼ります。

3枚目のビニールテープはミラーから半分はみ出した状態です。
◆ ミラーにテープを貼ったら裏返して、手前のミラーを折り紙を折るようにしっかり押さえながら折ります。

この操作はミラーとミラーの間に三角形に組むときに適度な隙間を空けるために行います。
◆ 2枚目のミラーも同じように、折り紙を折るようにしっかり押さえながら折ります。

◆ 折って戻すと、ミラーとミラーの間には適度な隙間が空いています。

保護シートを剥がすと、きれいな鏡面が現れます。
◆ ミラーを三角形に組みます。

ミラーを三角形に組んだら、ビニールテープの真ん中あたりを押さえて貼り合わせ、そこから左右に、ビニールテープを上から下になぞるように押さえるときれいに貼れます。
◆ ミラーの端に出っ張っているビニールテープを皮をむくようにひっくり返します。

◆ そこにビー玉を載せ…

◆ ビニールテープでビー玉を包むように貼ります。

※ビー玉はビニールテープで貼っているだけなので、ビー玉がしっかり貼り付いているか確認してください。
◆ これでビー玉万華鏡の出来上がり～
ビー玉万華鏡はビー玉の先にあるものを映し出す万華鏡なので、
例えばテープルの上のミカンを見ると…

ミカンがいっぱい！(^o^)

■ 直角三角形（90°60°30°）のビー玉の付け方
直角二等辺三角形（90°45°45°）のビー玉万華鏡も、直角三角形（90°60°30°）のビー玉万華鏡も、組み立て方は同様です。
でも、直角三角形（90°60°30°）はビー玉の付け方をちょっと工夫します。

直角三角形（90°60°30°）の上にビー玉を置くと…

ビー玉は90°の頂点のところに寄ります。この状態のままビー玉をビニールテープでとめるのでなく、
ビー玉を30°の頂点のところに寄せてビニールテープでとめます。

万華鏡の仕組み（合わせ鏡）で説明したように、2枚の鏡の角度によって、そこに映るパターンの繰り返し回数が変わります。
90°→4回
60°→6回
30°→12回
ヒトは対称性の高いパターンを美しいと感じるようなので、対称性の高い30°の頂点でビー玉の投映象が見易いように、30°の頂点にビー玉を寄せておきましょう。

■ 三種類の平面充填ビー玉万華鏡

三種類の万華鏡を作ったら、ミラーの形で見え方がどんな風に違うのかを見てみましょう。

ビー玉万華鏡はビー玉の先にあるものが映るので、色鮮やかなものをにビー玉を向けるのがお薦め。
また、ビー玉の外の世界をビー玉の球面に投影しているので、歪曲収差が大きくて歪んだ画像になるので、静止画で撮るとイマイチなんですが、ビー玉万華鏡で見る先を変えれば画像がダイナミックに変わるので楽しいですよ(^o^)

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※関連記事
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クジラの下顎骨の穴は「オトガイ孔」で音の入口～

海洋大『海鷹際』に行って、鯨ギャラリーでクジラの腹に入って、「うゎ～w(*ﾟoﾟ*)w お～！！」と感動したんですが、一つ疑問が…
↓この穴なに？

クジラの下顎骨にいくつも穴があるんです。

なんで下あごの骨に穴が開いてるの？
とっても気になるので検索・検索・・・
そして、これは「オトガイ孔」だとだと分かりました。
で、「オトガイ孔」って何？
オトガイ孔 - Wikipedia によりますと…『下顎骨の前面にある孔。下顎管の前端で、オトガイ神経とオトガイ動脈、オトガイ静脈が通る。』
ほ～ヒトにもオトガイ孔があるんだ。
でも、クジラがいくら大きいとはいえ、神経と動脈・静脈が通るだけでこんなに大きな穴が必要？
それに、左右一対じゃなく、複数のオトガイ孔がありますよ～

「オトガイ孔 クジラ」で検索して出てきたこちらの論文…
⇒特別講演 聴覚器がたどってきた道 - J-Stage[PDF] 岩堀修明 長崎大学 2013 によりますと…『陸に棲息していたクジラ類が水中で生活するようになると、鼓膜を保護するために外耳道を閉鎖し、オトガイ孔と下顎管が音波の取り入れ口となった。』お～！そうだったのか～！！
この論文、面白い～(^o^)

陸棲動物の聴覚器…アブミ骨、キヌタ骨、ツチ骨って、魚類→両生類→爬虫類→哺乳類と進化してくる過程で、要らなくなった骨を流用してるんですね。進化って、何もないところから新しいものを創りだすより、既にあるものを形を変えて流用するパターンが多いですね。

クジラの聴覚器…「音波の増幅」「骨伝導の排除」「音源定位」等々… なるほど～！
いや～ 進化って面白いですね。(^o^)

ところで『聴覚器がたどってきた道』の著者の岩堀修明氏ですが、検索してみたら…
↓この本の著者ではありませんか！

BLUE BACKS『感覚器の進化』はすんごく面白かった～！ので、ブログに書いてた(^o^)
2013/02/11 BLUE BACKS『感覚器の進化』は面白かった～！
改めてこの本を見たら、視覚器→味覚器→臭覚器→平行・聴覚器→体性感覚器と来て（これで五感）、最後の章は『クジラの感覚器』だったのですね。そこに「オトガイ孔」のことも書いてあった。五感で十分盛沢山に面白かったので、クジラの感覚器のところの記憶が薄れていたようだ(^^; 改めて読んでみたら、海から陸に上がった動物が、また海に戻ったとき・・・ 進化のドラマだね～

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『貝の建築学』の展示テーブルが等角螺旋で右巻きだった～

『貝の建築学 ARCHITECTURE OF SHELLS』という展示を東京大学総合研究博物館小石川分館／建築ミュージアムでやっているよと教えてもらい…

これは正多面体クラブ好みの企画だね～ と、海洋大『海鷹際』に行ったついでに行ってきました。
で、『貝の建築学』の展示コーナーに入ると…

展示テーブルが等角螺旋＝対数螺旋だった～
そして「右巻き」だった！ ←この、ちょっとしたこだわりが楽しい(^o^)

巻貝 - Wikipedia によりますと…『9割の種が右巻きと言われているが、理由はよくわかっていない。また左巻きの種の9割は陸生や淡水性である』…つまり、海産貝類のほとんどは「右巻き」なんです。
なんで右巻きなの？ と「貝殻 右巻き」で検索すると…
⇒右巻きか左巻きか、貝の遺伝子特定: 日本経済新聞
なんと！右巻きか左巻きかを決める遺伝子が突き止められていたんですね。2019/5/20付のニュース
Wikipediaの記載は、まだこのニュース/論文が反映されていないのですね。
ところで、その論文はどこ？ ↓こちらのニュースの方が詳しい
⇒貝の巻き方、決める遺伝子判明 人間の体内構造の解明へ：朝日新聞DIGITAL
この研究にはゲノム編集技術 CRISPR-Cas9 を用いたんだ～

『貝の建築学』では貝殻の切断標本で内部構造の「美」を堪能できます。

そして、貝殻の構造はどのようにできているのか？ そのアーキテクチャを考えるのが面白い。

「Raupモデル」というのがあるのか～
「Raupモデル」で検索すると…
⇒定量的形態計測入門[PDF]｜野下浩司 東京大学 農学生命科学研究科
このPDF面白そうだな～『三葉虫の輪郭への楕円フーリエ解析』とか。何かよく分かんないけどワクワク(^^;
Raupモデル Raup (1962, 1966), Raup&Michelson (1965) ほぉ、1960年代に提唱されたモデルのようです。
さらにこちら…
⇒数理生物学演習 第7回：理論形態モデル - Koji Noshita[PDF]
Python と Jupyter Notebook を使って巻貝の螺旋を描いてるよ～ この演習、楽しそうだな(^_^) そのうちやってみよう。「そのうち」テーマがまた一つ増えてしまいますが(^^;

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貝殻の切断面の「美」を掲載しているブログがあるのでご紹介…
⇒土佐の海からー海の貝ー｜Hatena Blog
こちらのブログを「断面」で検索すると、美しい貝の断面画像の記事がたくさん並んでますので、お好みの貝「断面」をいくつか、是非ご覧ください。

海洋大『海鷹際』に行って、鯨ギャラリーでクジラの腹に入る

東京海洋大学 品川キャンパス 第60回海鷹祭に行ってきました～
東京海洋大学は国内唯一の海洋系大学であり、「海を知り、守り、利用する」ことを使命としています。
『海を知り、守り、利用する』←これ、グッときますね～
で、海鷹際に行って一番感動したのが、鯨ギャラリーに展示されているセミクジラ、コククジラの全身骨格！

デカいw(*ﾟoﾟ*)w
そして、その下に立つと…

クジラの腹に入ったような感覚に浸れます(^o^)
↑セミクジラ（ヒゲクジラ亜目 セミクジラ科）
↓コククジラ（ヒゲクジラ亜目 コククジラ科）

あなたも是非、クジラの全身骨格標本の下に立ち「うゎ～w(*ﾟoﾟ*)w お～！！」と体感してくださいませ。海鷹際で鯨ギャラリーに入ってきた人皆、感嘆の声を発してましたから。
鯨ギャラリーは平日でも見学できます。無料です。⇒東京海洋大学 マリンサイエンスミュージアム | しながわ観光協会

ところで、クジラの下顎骨に開いてる穴は何？

→クジラの下顎骨の穴は「オトガイ孔」で音の入口～

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海鷹際では色んなシーフードが出店されていて、それを食べ歩くのも楽しみの一つですが、
注目のシーフードは…

東京海洋大学で60回目の「海鷹祭」開催迫る　「焼きオオグソクムシ」販売も https://t.co/sfdf5BrLhz

— 品川経済新聞 (@shinakei) October 30, 2019

↑こちらは開催前のイメージツイート
↓こちらがリアル焼きオオグソクムシ！

「これ、エビみたいに殻をむいて食べるの？」
「いえ、そのままガブリと。」
え（´Д｀）ん～ 写真だけ撮らせてもらっていい？ 一歩踏み出せなかった私(^o^;
「イナゴ」あたりで練習して、来年トライしようかな

実際に焼きオオグソクムシを食した(探求心旺盛な)人たちのツイート
@KenKen1967
@sasuraispider
@shachico111

焼きグソクムシとウミガメスープを食す。旦那は一口も食べない。飢饉が起こったとき生き残るのはあたし。 pic.twitter.com/uDXXisRfDq

— えつこ✴︎nico_embroidery (@tango_tan) November 2, 2019

↑これ面白い(^O^)
そういう時に備えて、イナゴ⇒昆虫食に慣れておこうと思ったのだが… 美味いらしい！
⇒いま注目される「昆虫食」 世界の最新事情、記者が食べながらルポ｜(朝日新聞)GLOBE+

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※関連?記事：海洋大品川キャンパスの周辺スポット
アニメ『色づく世界の明日から』…PIGMENT（ピグモン：顔料）

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※2020/01/26 新しくなった銀座線渋谷駅の構内がクジラの腹の中みたいでした(^o^)