万華鏡の仕組み（合わせ鏡）

万華鏡の作り方は「オブジェクトを変えられる万華鏡」で説明しましたが、でも何で万華鏡はあんな風に見えるんでしょうね？一つの模様/パターンを3枚の鏡で囲むと、そのパターンが無限に繰り返されるのはなぜでしょう？
「合わせ鏡」を見てみると、万華鏡の仕組みが分かってきます。

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■用意するもの

合わせ鏡分度器：合わせ鏡の性質を調べるための分度器です。上の画像をクリックして、開いたPDFを印刷してください。

ポリカーボネイト・ミラー または 塩ビ・ミラー：0.5mm厚か1mm厚のミラー板を、7.5cm角に切ったものを２枚。２枚のミラーをビニールテープでつないで、写真のように「合わせ鏡分度器」の上に置いて使います。

万華鏡説明用パターン：１つのパターンが無限に繰り返す様子を調べて説明するための用紙です。上の画像をクリックして、開いたPDFを印刷してください。

■「合わせ鏡」を調べる

合わせ鏡を広げて「合わせ鏡分度器」の上の水平な線に合わせて、合わせ鏡のつなぎ目は分度器の中心に合わせて置きます。そして、２枚の鏡を折り曲げて、徐々に閉じていきます。すると・・・

やがて、三角形が見えてきます。※この三角形は正三角形です。三角形が見えたときの２枚の鏡のなす角度は、360°÷３＝120°です。

さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は四角形（正方形）が見えてきます。※正方形が見えたときの２枚の鏡のなす角度は、360°÷４＝90°（直角）です。

さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は正５角形が見えてきます。※２枚の鏡のなす角度は（一応計算しておきましょう(^^;）、360°÷５＝72°です。

さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は正６角形が見えてきます。
※正６角形が見えたときの２枚の鏡のなす角度は、360°÷６＝60°です。この角度は一般の万華鏡のミラーの角度で、重要です。覚えておいてくださいね。

さらに合わせ鏡を閉じていくと・・・もう分かってますよね。次は正７角形です。

次は正８角形。

・・・いっぱい(^o^)。合わせ鏡を閉じていくと、どんどん増えて、何角形？というより、だんだん「円」に近づいて行きます。

中心をずらしてみると・・・おもしろいパターンが見られます。

さて、2枚の合わせ鏡の角度を変えると、鏡の中に映る数が変わることが分かりました。でも、2枚の鏡では、万華鏡の様に「無限」にはなりません。※合わせ鏡をピタッとくっつけて閉じると「無限」ですけど、見れないし～。2枚の鏡を離して平行に置けば「無限」ですけど、単調な繰り返しだし～

■万華鏡の（3枚目の鏡の）秘密
2枚の(角度をつけた平行でない）鏡に映るのは「有限」の繰り返しです。でも万華鏡は、そこに3枚目の鏡を加えることで「無限」の繰り返しが現れます。どうして？？？
その仕組みを図解します。

「万華鏡説明用パターン」の用紙です。虹色矢印が一つだけあります。用紙に敷き詰められている三角形は「正三角形」で、全ての頂点の角度は60°です。

虹色矢印のとんがりのところに鏡を２枚置いてみます。図の黒い太線が鏡の位置です。この２枚の鏡の角度は60°です。先ほど合わせ鏡を調べたときに出てきた、正６角形を映し出す角度ですね。

合わせ鏡に映って、こうなりますね。

さて、３枚目の鏡の登場です。図の赤い太線が３枚目の鏡です。

３枚目の鏡に映るのは…合わせ鏡に映っている６角形の虹色矢印です。すると上図のようになります。

次はまた２枚の合わせ鏡の方に戻って見てみましょう。合わせ鏡に映るのは、最初の虹色矢印だけでなく、３枚目の鏡に映っている６角形の虹色矢印も映ります。上図の色の付いた部分が合わせ鏡に映るんです。

前の図の色の付いた部分が合わせ鏡に映ると、上図のようになります。(^o^)わ～！

さて、そろそろ次の展開が予想できるかな？ 今度は３枚目の鏡（図の赤い太線）の方から見てみましょう。３枚目の鏡（図の赤い太線）の上側＝合わせ鏡の方に映っているのが、３枚目の鏡に映って下側に広がります。

…というように、２枚の合わせ鏡と３枚目の鏡との間で互いに相手の鏡に映った像の反射を繰り返して、無限のパターンが現れるんですね～
※２枚の鏡を平行に向き合わせると無限に反射を繰り返すのは理解しやすいと思います。万華鏡の３枚の鏡も、２枚の合わせ鏡を「折れ曲がった一つの鏡」ととらえ「２つの鏡が向き合って互いに反射を無限に繰り返している」と考えれば分かり易いかな。２枚の平行な鏡の場合と違うのは、片方が「折れ曲がった一つの鏡」＝合わせ鏡なので、そこで鏡像が増えるんですね～。

■平面充填図形
２枚の平行な鏡では直線的な（１次元の）無限の繰り返しですが、３枚の鏡の万華鏡では平面を隙間なく埋め尽くす、２次元の無限の繰り返しです。
平面を隙間なく埋め尽くす図形を「平面充填図形」と言います。３枚の幅の等しい鏡を組み合わせてできる「正三角形」は平面充填図形です。正三角形以外の平面充填図形でも万華鏡は作れるのでしょうか？ 調べて、実際に万華鏡を作ってみると、新しい発見があって、これがなかなか楽しいんです(^_^)
正三角形以外の万華鏡についての説明は Coming Soon?（いつになることやら(^^;）

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※この記事の作成日は 2010/04/24
～.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス（dion.ne.jp）が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

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…2019/11/23 やっと書きました→平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ！？…作ってみよう

…さらに→平面充填する万華鏡の三角形は3種類だけ！…なぜ？

■空間充填万華鏡
普通の万華鏡が「平面充填」するなら、「空間充填」する万華鏡も作れるんじゃない？
→ラビリンスボックス（立方体の空間充填万華鏡）の作り方

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