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2018年2月 3日 (土)

鏡の中のサッカーボール

Mirror12
三角錐の鏡の中にビー玉を1個入れてみると…ビー玉がいっぱい!全部で20個のビー玉が見えます。ビー玉は五角形の集まりで、正12面体に相当する立体になっています。

Mirror20
正三角形のプラスチックの板を入れてみると…正三角形が20個で、正20面体が映し出されます。

Mirror32
正三角形のスチレンペーパーの角を三角形に塗って入れてみると…ほら、サッカーボールに見えるでしょ!

用意するもの
ポリカーボネイト・ミラー板 45cm×30cm(0.5mm厚) このサイズで12個分です。
 ※東急ハンズで\1,300ぐらいでした。
ビー玉
集光プラスチック板(または塩ビ板):一辺3cmの正三角形を切り出します。
 ※集光プラスチックはエッジが光るので綺麗です。でも切り出しが大変。
スチレンペーパー(または食品トレイ):一辺3cmの正三角形を切り出します。
ビニールテープ

※準備作業のノウハウは、こちらの記事に詳しく書いてます。
 → 「鏡の中のサッカーボール」の準備作業

作り方
「鏡の中のサッカーボール」は「錐体鏡」です。鏡は「ポリカーボネイトミラー 0.5 mm厚」を使います。二等辺三角形(底辺90 mm,高さ72 mm)を3枚、切り出すのですが、450 mm × 300 mm というサイズで販売されているので、下図のように切り出すと、36枚で12個分切り出せます。
Mirrorcut3
この三角形は正三角形に近い形ですが、正三角形ではありません。ですから貼り合わせるときの目印に、二等辺の頂点にマークを付けておきます。
ポリカーボネイトミラーをカッターで切る場合はポリカーボネイトミラーの裏面(青い面)からカットするのではなく、保護シートが貼ってある面からカットします。カットするといっても、一回カッターで切り込みを入れるだけです。後で折り曲げれば切り離せます。上図の横方向に切り離してしまうと、三角形に切るためにその後、カッター40回になってしまいますが、切り離さなければカッター12回で済みます。

Soccerball_in_mirror22b
二等辺の頂点に付けたマークが集まるように三角形を並べて、ビニルテープで貼り合わせます。

Soccerball_in_mirror23
鏡をひっくり返し(銀色の面を表にして)、貼り合わせた鏡の境界を折り曲げるとビニルテープが引き伸ばされ、鏡の間に適度な隙間ができて三角錐に組み立てやすくなります。

Soccerball_in_mirror24
ポリカーボネイトミラーの鏡面側に貼ってある保護シートをはがします。

Soccerball_in_mirror25
3枚の鏡を折り曲げて三角錐の形にし、ビニルテープで貼り合せます。これで三角錐体鏡はできあがり。

Bdama3
錐体鏡の中に入れるものも準備しましょう。ビー玉、集光プラスチックを正三角形(一辺30 mm)にカットしたもの、スチレンペーパーを正三角形(一辺30 mm)にカットしたものなどです。

Soccerball_in_mirror20b
スチレンペーパーは、このように各辺を3等分して、3つの頂点の部分を正三角形に油性マジックで塗ります。中の白い部分は正6角形になります。

ビー玉正12面体
Hoshikaze11_2
まずは錐体鏡の中にビー玉を入れてみましょう。
わ!ビー玉がいっぱい。ビー玉の数は実物のビー玉も含めて全部で20個になります。鏡の合わせ目でビー玉が5個つながって正5角形になっています。この正5角形が12個あり、全体では正12面体に相当する立体になっています。ビー玉は正12面体の頂点と見なせます。

集光プラスチックの正20面体
Mirror20
次は正三角形の集光プラスチックを入れてみましょう。正三角形が20枚で正20面体です。集光プラスチックはエッジが光るので正多面体工作の材料としてはなかなか良いです。集光プラスチックのエッジがなぜ光るのか?その話も面白いのですが、ここでは省略。
それよりも注目していただきたいのが、ビー玉正12面体を映し出している鏡と、集光プラスチックの正20面体を映し出している鏡が同じだということです。この錐体鏡にビー玉(頂点)を入れると正12面体になり、正三角形(面)を入れると正20面体になりました。正12面体と正20面体は面と頂点を入れ替えると互いに入れ替わるという面白い性質があります。この関係を「双対(そうつい)」といいます。

鏡の中のサッカーボール
Hoshikaze10_2
では最後に角を三角に塗ったスチレンペーパーを入れてみましょう。
ほら、鏡の中にサッカーボールが見えるでしょ! スチレンペーパーに色を塗ったところが鏡の合わせ目で正5角形になっています。典型的なデザインのサッカーボールは、12個の正5角形と20個の正6角形で構成されています。これは正20面体の頂点を切り落とした「切頂20面体」という立体です。

なぜ?
科学イベントなどで「鏡の中のサッカーボール」をやると、皆さん「わ!サッカーボールだ」と楽しんでもらえるのですが、「なぜ?」という質問の少ないのがちょっと残念です。この錐体鏡で正20面体などが映し出されるのはなぜ?
Icosahedron
この錐体鏡は正20面体の中心と、正三角形の一つの面とを結んだ三角錐なのです。
Pa0_0007s
この錐体鏡を20個くっつけると、正20面体になります。

おはなし…
このミラーは三角錐(さんかくすい)の形をしていますので「錐体鏡(すいたいきょう)」です。で、「万華鏡」の一種です。万華鏡の鏡って何枚あるか知ってますか?
万華鏡の鏡は(普通は)三枚です。で、三枚の長方形の鏡ですと、鏡に映る像が「無限」に繰り返されます。ところが鏡の形を「台形」や「三角形」にすると、鏡に映る像が「有限」になります。

※万華鏡の一種に「テーパードミラーの万華鏡」と言うものがあります(「テーパード(tapered)」とは、先がしだいに細くなることです)。これは台形のミラーを使ったもので、覗くと球形の像が見えます。 で、この台形の短辺をさらに短くしテーパー(taper)をきつくしていくと、球体上の三角形の面の数はどんどん減ってきて… 台形の短辺ゼロ⇒三角形にして、さらにある特別な三角形にすると、球体上の正三角形の像が重なり合うことなくピタッと20枚になり、正20面体を映し出すようになったのが「鏡の中のサッカーボール」の錐体鏡なのです。

※「ある特別な三角形」と書きましたが、その三角形は上の「作り方」に書いた三角形です。正三角形ではありません。昔、苦労して計算して求めた値です(正20面体の中心と、正三角形の面の一つとを結んだ三角錐 です)。今もう一度計算しようとしても(十数年も前に計算したので)再計算は困難かも(^^; そのときは正20面体の他に、正4面体,正8面体,正6面体,正12面体の錐体鏡も作りました。それらの錐体鏡の三角形のサイズは~ 記録が見つからない… 発掘してプログに載せておかねば! そのうち。。。


※この記事の作成日は 2004/12/19
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了したので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

また、RikaTan(理科の探検)に『作って楽しむ正多面体の不思議』という連載をしてまして(2015夏号~2018 2月号)、この連載の第1回で『鏡の中のサッカーボール』を紹介しています。→理科の探検2015夏号…新連載『作って楽しむ正多面体の不思議』
このページは↑この記事の内容も反映した改訂版です。

「鏡の中のサッカーボール」は私が科学イベント等で実施した正多面体アイテムの中で一番人気です。なので↓こんなにやってます。作った人の総計 約2,800人!

※「鏡の中のサッカーボール」の実施記録…
2002/07/24 第20回戸田競艇場少年少女サマーフェスティバル「鏡の中のサッカーボール」
2002/08/25 多摩チャレンジキャンパス2002「鏡の中のサッカーボール」
2002/11/10 OTAふれあいフェスタ 2002「鏡の中のサッカーボール」
2002/11/30 ぶしぎ発見科学教室「鏡の中のサッカーボール」「ストロー多面体」
2003/02/15 府中市青少年のための科学体験フェスティバル「ストロー多面体」「鏡の中のサッカーボール」
2004/02/14 府中市青少年のための科学体験フェスティバル「鏡の中のサッカーボール」「ペットボトル正多面体」
2005/01/08 はまっ子土曜クラブ「多面体ワールド」
2007/08/01 第25回戸田競艇場少年少女サマーフェスティバル「鏡の中のサッカーボール」
2008/09/15 2008青少年のための科学の祭典 東京大会in小金井「鏡の中のサッカーボール」
2009/09/02 みたか太陽系ウォーク「万華鏡から宇宙エレベータまで~正多面体の不思議~」
2010/10/02 東京国際科学フェスティバル2010「作って楽しむ万華鏡の不思議(万華鏡カフェ)」
2012/07/14 「鏡の中のサッカーボール」の準備作業
2012/07/24 東芝科学館「ふしぎ発見!正多面体工作」
2014/03/29 2014春イベント~東芝未来科学館 初めての春休み~ 鏡の中のサッカーボール…出展報告
2014/07/28 第32回戸田少年少女サマーフェスティバル「鏡の中のサッカーボール」
2015/08/06 鏡の中のサッカーボール…博物ふぇすてぃばる!2015

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