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2017年10月22日 (日)

万華鏡の仕組み(合わせ鏡)

Mirrors01s Mirrors02s
万華鏡の作り方は「オブジェクトを変えられる万華鏡」で説明しましたが、でも何で万華鏡はあんな風に見えるんでしょうね?一つの模様/パターンを3枚の鏡で囲むと、そのパターンが無限に繰り返されるのはなぜでしょう?
「合わせ鏡」を見てみると、万華鏡の仕組みが分かってきます。

用意するもの
Mirrors00t
合わせ鏡分度器:合わせ鏡の性質を調べるための分度器です。上の画像をクリックして、開いたPDFを印刷してください。

Mirrors50
ポリカーボネイト・ミラー または 塩ビ・ミラー:1mm厚のミラー板を、7.5cm角に切ったものを2枚。万華鏡を作るときに使った0.5mm厚のミラーの残りを使ってもよい。
2枚のミラーをビニールテープでつないで、右の写真のように「合わせ鏡分度器」の上に置いて使います。※2枚のミラーの角度を色々変えて、合わせ鏡の性質を調べますので、0.5mm厚のミラーだと、ちょっとふにゃふにゃ(^^; なので、手に持ってミラーが歪んだりしない1mm厚のミラーを使っています。

Mirrors01t Mirrors02t
万華鏡説明用パターン:1つのパターンが無限に繰り返す様子を調べて説明するための用紙です。上の画像をクリックして、開いたPDFを印刷してください。

「合わせ鏡」を調べる
Mirrors00i
合わせ鏡を広げて「合わせ鏡分度器」の上の水平な線に合わせて、合わせ鏡のつなぎ目は分度器の中心に合わせて置きます。そして、2枚の鏡を折り曲げて、徐々に閉じていきます。すると・・・

Mirrors03
やがて、三角形が見えてきます。※この三角形は正三角形です。三角形が見えたときの2枚の鏡のなす角度は、360°÷3=120°です。

Mirrors04
さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は四角形(正方形)が見えてきます。※正方形が見えたときの2枚の鏡のなす角度は、360°÷4=90°(直角)です。

Mirrors05
さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は正5角形が見えてきます。※2枚の鏡のなす角度は(一応計算しておきましょう(^^;)、360°÷5=72°です。

Mirrors06
さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は正6角形が見えてきます。
※正6角形が見えたときの2枚の鏡のなす角度は、360°÷6=60°です。この角度は一般の万華鏡のミラーの角度で、重要です。覚えておいてくださいね。

Mirrors07
さらに合わせ鏡を閉じていくと・・・もう分かってますよね。次は正7角形です。

Mirrors08
次は正8角形。

Mirrors10
・・・いっぱい(^o^)。合わせ鏡を閉じていくと、どんどん増えて、何角形?というより、だんだん「円」に近づいて行きます。

Mirrors11
中心をずらしてみると・・・おもしろいパターンが見られます。

さて、2枚の合わせ鏡の角度を変えると、鏡の中に映る数が変わることが分かりました。でも、2枚の鏡では、万華鏡の様に「無限」にはなりません。※合わせ鏡をピタッとくっつけて閉じると「無限」ですけど、見れないし~。2枚の鏡を離して平行に置けば「無限」ですけど、単調な繰り返しだし~

万華鏡の(3枚目の鏡の)秘密
2枚の(角度をつけた平行でない)鏡に映るのは「有限」の繰り返しです。でも万華鏡は、そこに3枚目の鏡を加えることで「無限」の繰り返しが現れます。どうして???
その仕組みを図解します。

Tri001
「万華鏡説明用パターン」の用紙です。虹色矢印が一つだけあります。用紙に敷き詰められている三角形は「正三角形」で、全ての頂点の角度は60°です。

Tri002
虹色矢印のとんがりのところに鏡を2枚置いてみます。図の黒い太線が鏡の位置です。この2枚の鏡の角度は60°です。先ほど合わせ鏡を調べたときに出てきた、正6角形を映し出す角度ですね。

Tri003
合わせ鏡に映って、こうなりますね。

Tri004
さて、3枚目の鏡の登場です。図の赤い太線が3枚目の鏡です。

Tri005
3枚目の鏡に映るのは…合わせ鏡に映っている6角形の虹色矢印です。すると右の図のようになります。

Tri006
次はまた2枚の合わせ鏡の方に戻って見てみましょう。合わせ鏡に映るのは、最初の虹色矢印だけでなく、3枚目の鏡に映っている6角形の虹色矢印も映ります。左の図の色の付いた部分が合わせ鏡に映るんです。

Tri007
前の図の色の付いた部分が合わせ鏡に映ると、右の図のようになります。(^o^)わ~!

Tri008
さて、そろそろ次の展開が予想できるかな? 今度は3枚目の鏡(図の赤い太線)の方から見てみましょう。3枚目の鏡(図の赤い太線)の上側=合わせ鏡の方に映っているのが、3枚目の鏡に映って下側に広がります。

Tri009
…というように、2枚の合わせ鏡と3枚目の鏡との間で互いに相手の鏡に映った像の反射を繰り返して、無限のパターンが現れるんですね~
※2枚の鏡を平行に向き合わせると無限に反射を繰り返すのは理解しやすいと思います。万華鏡の3枚の鏡も、2枚の合わせ鏡を「折れ曲がった一つの鏡」と考えれば「2つの鏡が向き合って互いに反射を無限に繰り返している」と考えれば分かり易いかな。2枚の平行な鏡の場合と違うのは、片方が「折れ曲がった一つの鏡」=合わせ鏡なので、そこで鏡像が増えるんですね~。

平面充填図形
2枚の平行な鏡では直線的な(1次元の)無限の繰り返しですが、3枚の鏡の万華鏡では平面を隙間なく埋め尽くす、2次元の無限の繰り返しです。
平面を隙間なく埋め尽くす図形を「平面充填図形」と言います。3枚の幅の等しい鏡を組み合わせてできる「正三角形」は平面充填図形です。正三角形以外の平面充填図形でも万華鏡は作れるのでしょうか? 調べて、実際に万華鏡を作ってみると、新しい発見があって、これがなかなか楽しいんです(^_^)
正三角形以外の万華鏡についての説明は Coming Soon?(いつになることやら(^^;)

※この記事の作成日は 2010/04/24
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

※関連記事
オブジェクトを変えられる万華鏡
ビー玉万華鏡

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