2017年11月13日 (月)

正多面体ペーパークラフト

正多面体関連のアイテムとして「ストロー正多面体」や、「ビーズ正多面体ストラップ」を紹介していますが、まずは基本的な正多面体の形を手にとって見ておいた方がよいので、正多面体ペーパークラフトを作ってみましょう(^^)/~
Polyhedra papercrafts

用意するもの
展開図(型紙)を印刷するための、ちょっと厚めのA4の紙
※「ちょっと厚め」を数字で言うと…0.2mmぐらい。
※フォト光沢紙を使うと、光沢のある正多面体が作れるので、フォト光沢紙はお勧めです。
展開図(型紙)を印刷する:以下のPDFを、ちょっと厚めのA4の紙に印刷してください。
Polyhedra46812pdf 正4・6・8・12面体
Polyhedra12pdf 正12面体(改良版)
Polyhedra20pdf 正20面体・サッカーボール
Poly24star_pdf 星型24面体(8角星)※正多面体ではなく、正8面体に正4面体をくっつけた形です。
カッター,定規,カッティングマット
※ハサミで作れなくはないですが、正確さが命の正多面体ペーパークラフトを作るには、カッターと定規で切るのがお薦めです。カッティングマットは机をカッターで傷つけないためのものですから、なければ古新聞や古雑誌で代用しましょう。
折り筋をつけるためのヘラ
※代用品としては… ペーパーナイフ,千枚通し,ハサミの刃の片側を使う など
木工用ボンド(速乾でない、普通の木工用ボンド)
※ぺーバークラフト作りには「のり」より木工用ボンドがお薦めです。
※木工用ボンドは「速乾」でない、普通の木工用ボンドを使ってください。正多面体ペーパークラフトは「のりしろ」を一つ一つ貼り付けていくだけでなく、最後は2つ以上の「のりしろ」を同時に貼り付けるので、速乾性のボンドだとボンドを塗っているうちに乾いてしまったりしちゃいますから(^^;
(木工用ボンドの代わりに)両面テープ:1cm幅
※いくつも正多面体ペーパークラフトを作っていて… 木工用ボンドより両面テープの方がいいかも(^^) 最初に作った正12面体の展開図は、最後に9箇所の「のりしろ」を同時に接着するという超絶技巧を必要とするものでして… これを子供たちに作らせるとボンドまみれになってしまうんですよ~(^^; で、両面テープの方がきれいに貼れるので、両面テープで貼るのをお勧めします。

ボンドか両面テープか?という問題ではなくて、12面体の展開図がペーパークラフト向きでない!ってことでしょ~
はい、実はそうなんですよ(^^; そこで、正12面体展開図の改良版を作りました(^o^)v
改良版では、のりしろの①~⑮までは一つずつ順に貼っていき、最後に⑯で4つ同時貼り(同一平面だから、4つ同時でも貼り易い)になりました~(^o^)/~
さらに、両面テープをのりしろの形に切るための型紙も付いてます。

やっぱりボンド(^^;
2011/5/28(土)に行った「ふしぎ発見科学教室」で、子供たちに両面テープで作らせて見たところ…
両面テープを貼ると、のりしろに付けている①②③…の貼り合せる順番が見えなくなり、勝手な順番に貼っていくと、途中でうまくできなくなることがありまして… やっぱりボンドかな?と。
※両面テープを貼ったら、その上に貼り合わせの順番を書いておけば、両面テープでもいいんですけどね。

作り方
ペーパークラフトですので…切って貼って作ってください(なんと手抜きの解説(^^;)
※実は、正多面体ペーパークラフト作りの(膨大な?)ノウハウがあるんですが、それをまとめる時間がなくて…(そのうち(^^;)
※2011/5/28(土)に行った「ふしぎ発見科学教室」で、子供たちに作らせてみて「切って貼って…」だけではうまく作れないことがわかったので、ポイントだけ書いておきます。
・(切る前に)折り筋をしっかりつけておきましょう。
展開図の点線が折り筋ですから、定規とヘラ(代わりに千枚通しなど)を使って折り筋をつけます。正多面体は折り線がピシッと真っ直ぐでないと、出来上がりがかっこ悪くなりますから。
・両面テープで貼り合せる場合は、切ったら、折る前に、両面テープを貼っておきます。
・切ったら、折り線をしっかり折ります。
・のりしろで貼り合せる前に、折った状態で、完成形を確認します。
・ちゃんと正多面体の形ができることを確認したら、①から貼り合わせます。
↓こちらで正多面体ペーパークラフト作りのノウハウを少し解説しています。
正20面体サイコロ(ペーパークラフト)

さらに…
S20c←正20面体の展開図と一緒にあるサッカーボールの出来上がりは、こんな形。
サッカーボールは「切頂20面体」といって、正20面体の頂点を切り落とした形です。切り落としたところを正5角形でふさぐのは(すご~く)大変なので、穴の空いたままです。
※JAXA(宇宙航空研究開発機構)のサイトに「サッカーボール型木星儀ペーパークラフト」があります。こちらは5角形のところが穴あきじゃないです。(でも作るの大変そう~)元気のある人は、作るの挑戦してみてください。
※久々にリンクをクリックしてみたら、リンクが切れていた(^^;
→「サッカーボール型木星儀ペーパークラフト」で検索…
お~ありました!こちらです→サッカーボール型木星儀ペーパークラフト
JAXAのサイトから、月探査情報ステーションというサイトに引越してたのか~
お~!月探査情報ステーションのギャラリーには「サッカーボール型惑星ペーパークラフト」が、水・金・地・火・木・土・天・海・冥 って全部あるゾ!
土星の輪もあるし、惑星から降格されて「準惑星」になった冥王星も(まだ)あるゾ(^^;

S8f←星型24面体(8角星)の出来上がりは、こんな形。
星型24面体(8角星)という名前は、まだ「八角星」という名前を知らない頃、勝手にそう呼んでいたのですが… ブルーバックス「ケプラーの八角星 不定方程式の整数解問題」という本を見つけて(買って・読んで)…八角星(8角星)でよかったのか~(^^)。
八角星ってなかなか面白い立体なのですね~(形が面白いから、展開図を描いてペーパークラフトにしたんですけど… 数学的にも面白い。)
でも、「不定方程式の整数解問題」という難しそうな副題を見て引いちゃう人もいるでしょうから… Amazon のカスタマーレビューも見てくださいな(^_^)

正多面体はなぜ5種類しかないのか?
5種類の正多面体を作って「正多面体はなぜ5種類しかないの?」と思ったあなた…
こちらをご覧ください→「正多面体はなぜ5種類しかないのか?」…5種類しかないことを「実験」で証明しています(^o^)。あ、数学的証明も説明してますから(^^;

さらに・さらに…
正多面体の規則性/対称性の不思議を体感するには、ストローやビーズで正多面体を作ってみると、「アハッ! 正多面体ってこうなってるんだ~」と分かるかも。
ストロー正多面体
ビーズ正多面体ストラップ


※この記事の作成日は 2009/03/08
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

2017年11月 4日 (土)

RikaTan 2017年12月号…特集『地震』…連載『作って楽しむ正多面体の不思議』第14回 MOVE FORM

RikaTan(リカタン 理科の探検)2017年12月号が発売されてます。
Rikatan201712
特集『地震日本列島にくらす人必読!です。
読んでいて「中央構造線」と「フォッサマグナ」を復習しました~
フォッサマグナは「線」ではなく「面」ラテン語で「大きな溝」という意味なんだ~

そして、連載『作って楽しむ正多面体の不思議』は第14回になりまして、
今回は『MOVE FORM』です。
Rikatan201712p
MOVE FORMとは
MOVE FORMは1964年に戸村浩さんが考案された畳める立方体です。立方体だけでなく正12面体や切頂20面体などのバリエーションもあります。戸村浩さんは立体や幾何学に関する動きを楽しむ作品を作っておられる造形作家で、それらの作品は1969年春から『数学セミナー』誌上でも連載されていました。
…と、記事のリードを書きながら「MOVE FORM 戸村浩」で検索していたら…
このページを見つけた⇒基本形態の構造 立方体はブドウ酒の味がする 戸村浩 - 古本買取販売 ハモニカ古書店
そして、このページに出ている目次を見ていたら…

うわぁ~!この見出しにとっても惹かれる~w(*゚o゚*)w

これは必見だ!と、図書館を検索したけど蔵書にはなく、
ネットの古書店はどこも「売り切れ」
amazonに基本形態の構造―立方体はブドウ酒の味がする (1974年) 中古品の出品:3 とあって、値段は… ゲッ!古書店に出ていた倍額じゃありませんか。
ん~どうする?
基本形態の構造』この本を「正多面体クラブ」が見たことないなんて… 私が見なくちゃ!という使命感(^^?
Kihonkeitainokozo
買いました~!
お~面白すぎる~!
こういうのが作れるなら、こうしたら、こういう新しいのが作れるよね!
と、インスパイアーされる、されるw(*゚o゚*)w

※そのうち作りますから。
でもその前に、連載 第15回の原稿を書かなくちゃ(汗;)
その後は、東芝未来科学館 【リカタンず】「ネオジム磁石はすごいゾ!」 の準備をして~
その後は、大和市 冬のおもしろ科学館 の準備をして~
「小学校2年生で正多面体が大好き」な はるゆき君のリクエストにも応えなきゃだし…
…「そのうち」がいつになることやら(^^;

※『作って楽しむ正多面体の不思議』これまでの連載…
第1回 鏡の中のサッカーボール
第2回 ストローとゴムひもで編む正多面体
第3回 丸ビーズとテグスで編む正多面体(ビーズボール)
第4回 PPバンドを編んで作るセパタクローボール
第5回 正多面体ペーパークラフト
第6回 ラビリンスボックス…立方体の空間充填万華鏡
第7回 ビー玉正4面体逆立ちゴマ
第8回 コーナーキューブ(再帰性反射) アポロが月に置いてきたもの
第9回 ヒンメリ(フィンランドの光のモビール) ストロー正8面体
第10回 正多面体はなぜ5種類しかないのか?実験
第11回 名刺3枚で正20面体
第12回 C60フラーレン分子模型をストローで作る
第13回 パスカルのピラミッド (正4面体のフラクタル)
・第14回 MOVE FORM

2017年10月31日 (火)

ビーズ正多面体ストラップ

B4c Beadsstrapblue
ストロー正多面体」を作っていて、ストローを切るのが面倒なので、ストローを竹ビーズに代え、さらに丸ビーズで作ったらどうなるかな~?と作ってみたら…なかなかキレイなので、ストラップも付けて「ビーズ正多面体ストラップ」にしてみました。(ストラップにしたのは「こうすれば可愛いアクセサリになるでしょ(^^)」と、イベントでの客寄せのためでして…(^^;)
それより、丸ビーズで正多面体を作ってみたら、新たな正多面体の不思議・発見が次々と!! 是非、実際に作って、正多面体の不思議を楽しんでください。
以下の説明はストロー正多面体を既に作ったことを前提にしています。ビーズ正多面体を作る前に、ストロー正多面体を作っておくことを強くお薦めします。

では、色々な方法で作った正多面体を眺めておきましょう。

Bpoly1
集光プラスチックで作った正多面体(エッジが光って、分かり易い。正多面体説明用)
ストロー正多面体
Bpoly2
ビーズ正多面体
Bpoly3
ビー玉正多面体(「核モデル」とも呼ばれるらしい)
Bpoly4
ビー玉正多面体は、ビー玉をエポキシ系接着剤でくっつけたものです。ビー玉正12面体を作るにはちょっとした技が必要です。
ビー玉正12面体とビーズ正12面体は形が似ているように見えますが、玉の数が全然違います。ビーズ正12面体のビーズは「辺」なので、30個。ビー玉正12面体のビー玉は「頂点」なので20個です。

(ビーズ正多面体を作るために)用意するもの
ビーズ(直径5mm~8mmぐらい)
 ※正4面体:6個,正6面体と正8面体:12個,正12面体と正12面体:30個
テグス(ちょっと太めの6号がいいが、3号でも可)
 ※ストラップにした場合、力が加わって3号のテグスだと切れてしまうこともあるので、できれば6号のテグスがよい。
ストラップ
 ※ビーズ,テグス,ストラップは、いずれも手芸用品店や100円ショップで売っています。
 ※6号のテグスは手芸用品店にないこともあるので、釣具屋さんで買ってもいいよ。
はさみ定規

作り方
ストロー正多面体」の、ストローをビーズに、ゴムひもをテグスに置き換えれば「ビーズ正多面体」は作れます!(皆さんの健闘を祈ります。)

ま~せっかくですから、もう少し説明しておきますね(^^;
ビーズ正多面体作りは、正4面体,正6面体,正12面体がお薦めですので、この3つのビーズ正多面体の編み方を「ストロー正20面体」の作り方を説明するために独自にあみ出した下記の記号と写真で説明します。

 ○ 右側のテグスに新しいビーズを通します。
 × 左側のテグスを右側のテグスに通した最後のビーズに通しクロスさせます。
 ● 左側のテグスをテグスが一本だけ通っているビーズに通します。
 〆 左右のテグスが一箇所に集まったら、テグスをかたく結んで、結んだ後のテグスの端をもう一度ビーズに通します。そして余ったテグスは切り落として完成です。(テグスを結んだところで切ると、テグスがほどけてしまうことがあるので「結んだ後のテグスの端をもう一度ビーズに通します」ここだけ、ビーズの中をテグスが3回通ることになります。こうしておくと、テグスがほどけにくくなります。ストラップにする場合は、テグスに力が加わることがあるので、この操作は必須です。)

あ~大事なことを一つ説明していませんでした。ビーズ正多面体ストラップにするには、最後の1個のビーズをテグスに通すときに、ストラップの金具も一緒に通します。

正4面体
ストロー正4面体では…
作り始める前に「正4面体がどういう形をしているか」よ~く見ておきましょう。できあがりの形を観察しておくと、作っている途中で「わけわかんな~い」となることが予防できます(^^)v
…と書きましたが、ビーズ正多面体のできあがりの形は、本来の正多面体の形とかなり違っていますので、これがあまり役立ちません(^^; それより、ストロー正多面体と同じ手順で作ることが重要なので、ストロー正多面体とビーズ正多面体の手順写真を並べて示します。でもポイントは押さえておきましょう↓
・正4面体は、正三角形の集まりです。ですから、ビーズ3個で一つの正三角形を作ります。
・正4面体の頂点には、ビーズが3個集まります。●の操作をするのは「左側のテグスのところにビーズが3個集まったら」です。
B4poly

正6面体
正6面体(立方体)は、正4角形(正方形)の集まりです。ですから、ビーズ4個で一つの正4角形(正方形)を作ります。作り方のルールが正4面体と違うのはここだけです。
Bp6s

正12面体
正12面体は、正5角形の集まりです。ですから、ビーズ5個で一つの正5角形を作ります。作り方のルールが正4面体,正6面体と違うのはここだけです。
Bp12s

ビーズ正多面体の不思議
ストロー正多面体とビーズ正多面体の両方を作った人は、それらを手元に置いて、次のことを確認してください。
作ってない人は…このページの上の方に並んでいる写真を見ながら以下を読んでください。
正6面体と正8面体は、テグスの通し方を無視して、ビーズの並び方だけを比べると同じ形になってます!
正12面体と正20面体も、テグスの通し方を無視して、ビーズの並び方だけを比べると同じ形になってます!
こういう性質があるので、正6面体と正8面体、正12面体と正20面体は仲間で、この関係は「双対(そうつい)」と呼ばれています。
ストロー正多面体では、正6面体と正12面体が柔らかくて、ふにゃふにゃでした。
でもビーズ正多面体では、正6面体と正12面体が固くて、正8面体と正20面体が柔らかいです。
ストロー正多面体とビーズ正多面体で、固いのと柔らかいのが逆転します!これも「双対」だからでしょうか?
ストロー正6面体と正12面体が柔らかくて、ふにゃふにゃなのは、ストローとゴムひもでは正方形と正5角形が安定しない(簡単に変形してしまう)からでした。でも丸ビーズとテグスでは、正方形と正5角形がちゃんとできて固いです。なぜでしょう? これは図を書いて考えてみると理由が分かると思います。考えてみましょう。
正4面体はストロー正多面体でもビーズ正多面体でも固いです。正4面体は「双対」の仲間はなく、「自己双対(じこそうつい)」です。
ビーズ正4面体は、ぜんぜん正4面体らしくありません。よ~く見ると正8面体に見えます。ビー玉正8面体と比べると、ビーズ正4面体は同じ形をしています。ビーズ正多面体のビーズは「辺」なのですが、ビーズ正4面体のビーズは「頂点」だと見なすと正8面体になります。なぜそうなるのか?(簡単に分かり易く説明できないのですが…考えてみよう!という人にヒントは「切頂4面体」です。)


※関連記事
2013/01/26 ふしぎ発見科学教室「ビーズ正多面体ストラップ」
2013/10/10 ビーズボール(丸ビーズ30個)のレシピ(作り方)
2013/10/12 ビーズボール(90個)の作り方
2014/09/03 丸ビーズで正多面体を作ると「双対(そうつい)」が面白い
2015/04/26 【リカタンず】 丸ビーズとテグスで作る「正多面体ストラップ」…東芝未来科学館

※この記事の作成日は 2009/02/10
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

2017年10月30日 (月)

ストロー正多面体

Straw00t_2 P4_6_8_12t
短く切ったストローに一本のゴムひもを通して「編んで」いくことで、正多面体を作ることができます。 こちらで→「ストロー正20面体」を紹介していますが、正多面体は5種類あるので、全部作ってみましょう(^^)/~ということで、このページでは、正4面体,正6面体,正8面体,正12面体の作り方を説明します。
ストロー正多面体の中で、できあがりが美しく、作って嬉しいのは正20面体が一番なんですが、いきなり正20面体からではチョット難しいので、正4面体→正8面体→正20面体の順に作っていくのがお薦めです。
(正4面体,正8面体,正20面体は作り方のルールがたった一箇所違うだけです。科学イベントでストロー正多面体を作る場合は、正20面体だけをやりますが、科学教室などで十分な時間がある場合は、正4面体→正8面体→正20面体の順にやっています。この順に作っていくと正4面体を作った後「次は作り方のルールが…こう変わります」と言うだけで、正8面体,正20面体まで、何も説明しなくてもどんどん作っていく子供たちがかなりいますよ。)

用意するもの
・ ストロー ※できれば細めのストロー
・ ゴムひも(丸ゴム・2本丸 または 1本丸) ※手芸用品店や100円ショップで売っています
・ はさみ,定規

作り方
ストローとゴムひもを切る
Spolyt
ストローは最初に一本所定の長さに切り、後はそれを定規の代わりにして、長さを揃えて切りましょう。切ったストローの長さが揃っていないと、出来上がりの形が悪くなります。
正4面体,正8面体,正20面体の面の形は正三角形ですが、正6面体の面の形は正方形,正12面体の面の形は正5角形です。正方形と正5角形のストローの長さ(辺の長さ)を正三角形と同じにすると、面が大きくなってしまって、できあがる多面体が大きくなってしまいます。そのため、正6面体と正12面体のストローの長さは短めにしています。

ゴムひもの長さ=[ストローの長さ]×[ストローの本数]×2+[予備30cm] ※10cm未満切り捨て
ゴムひもはストローの中を2回通ります。それとゴムひもを最後に結ぶために、予備が30cmぐらい必要です。

編む
ストロー正多面体の編み方を「ストロー正20面体」の作り方を説明するために独自にあみ出した(^^;下記の記号と写真で説明します。
 ○ 右側のゴムひもに新しいストローを通します。
 × 左側のゴムひもを右側のゴムひもに通した最後のストローに通しクロスさせます。
 ● 左側のゴムひもをゴムひもが一本だけ通っているストローに通します。
 〆 左右のゴムひもが一箇所に集まったら、ゴムひもをかたく結んで、結んだ後のゴムひもの端をもう一度ストローに通します。そして余ったゴムひもは切り落として完成です。(ゴムひもを結んだところで切ると、ゴムひもがほどけてしまうことがあるので「結んだ後のゴムひもの端をもう一度ストローに通します」ここだけ、ストローの中をゴムひもが3回通ることになります。こうしておくと、結び目が目立たなくなり、できあがりがキレイになります。)

正4面体
作り始める前に「正4面体がどういう形をしているか」よ~く見ておきましょう。できあがりの形を観察しておくと、作っている途中で「わけわかんな~い」となることが予防できます(^^)v正4面体は、正三角形の集まりです。ですから、ストロー3本で一つの正三角形を作ります。
正4面体の頂点(とんがってるところ)には、ストローが3本集まっています。●の操作をするのは「左側のゴムひものところにストローが3本集まったら」です。
Spoly4

正8面体
正8面体は、正三角形の集まりです。ですから、ストロー3本で一つの正三角形を作ります。
正8面体の頂点には、ストローが4本集まっています。●の操作をするのは「左側のゴムひものところにストローが4本集まったら」です。作り方のルールが正4面体と違うのはここだけです。Spoly8

ヒンメリ(himmeli)というフィンランドの伝統的なクリスマスの装飾品があります。
ヒンメリは藁(わら)に糸を通して、基本ユニットの正8面体を多数作り、それらをつなげて吊り下げます。
藁(straw)で作るのでまさにストロー正8面体です。
ヒンメリ - Wikipedia

正20面体
正20面体は、正三角形の集まりです。ですから、ストロー3本で一つの正三角形を作ります。
正20面体の頂点には、ストローが5本集まっています。●の操作をするのは「左側のゴムひものところにストローが5本集まったら」です。作り方のルールが正4面体,正8面体と違うのはここだけです。
作り方の写真はこちら→「ストロー正20面体」にありますが、もう作り方の説明を見なくても作れるようになったかな?試してみてね(^^)v

説明を見ないで作ってみようという人にアドバイス…左側のゴムひものところにストローが5本集まるまでは、三角形を次々と作っていきますが…ゴムひもを左右に引っ張って、間にストローが1本ある場合は、新しいストローを2本足して三角形を作ります。ゴムひもを左右に引っ張って、間にストローが2本ある場合は、新しいストローを1本足して三角形を作ります。三角形を作るんですから、新しく加えるストローの本数は、加えたら3本になる本数です。上の正8面体の作り方を見て、○の数は、その前のステップの左右のゴムひもの間のストローの数で決まることを確認してみてください。

正6面体
正6面体(立方体)は、正4角形(正方形)の集まりです。ですから、ストロー4本で一つの正4角形(正方形)を作ります。作り方のルールが正4面体と違うのはここだけです。
正6面体の頂点には、ストローが3本集まっています。●の操作をするのは「左側のゴムひものところにストローが3本集まったら」です。
Spoly6
※「ストロー4本で正方形を作ります。」と書きましたが、ストローとゴムひもでは正方形はできません。ふにゃふにゃで正方形(角が直角)にはならないのです。なぜ、3本だと正三角形になるのに、4本だと正方形にならないのでしょうか? 考えてみてね(^^)?

正12面体
正12面体は、正5角形の集まりです。ですから、ストロー5本で一つの正5角形を作ります。作り方のルールが正4面体,正6面体と違うのはここだけです。正12面体の頂点には、ストローが3本集まっています。●の操作をするのは「左側のゴムひものところにストローが3本集まったら」です。
Spoly12
※「ストロー5本で正5角形を作ります。」と書きましたが、ストローとゴムひもでは正5角形はできません。ふにゃふにゃで正5角形にはならないのです。4本で正方形にならず、5本で正5角形にならないのに、なぜ、3本だと正三角形になるのでしょうか? ここがストロー正多面体のおもしろいところです(^o^)

さらに…
5つのストロー正多面体を作ったら、触って固さを比べてみよう。固いのと柔らかいのがあるね(あ、作った人は作りながら触っているから、そんなことはもう分かってるよね。)
「三角形は固い」という性質は、大きな建造物に使われています。「東京タワー」や「鉄橋」の写真を見てみよう。それから「トラス構造」という言葉も調べてみよう。
ストローを丸ビーズに置き換えると、とっても可愛いアクセサリーになります。作ってみたい!と思ったら「ビーズ正多面体ストラップ」を見てね。

まとめ…
ストロー正多面体の作り方のルールをもう一度書きだしてみると…

正4面体
ストロー3本で、正三角形を作ります。
ストローが3本集まったら、まだゴムひもが一回しか通っていないストローにゴムひもを通します。

正6面体
ストロー4本で、正4角形を作ります。
ストローが3本集まったら、まだゴムひもが一回しか通っていないストローにゴムひもを通します。

正8面体
ストロー3本で、正三角形を作ります。
ストローが4本集まったら、まだゴムひもが一回しか通っていないストローにゴムひもを通します。

正12面体
ストロー5本で、正5角形を作ります。
ストローが3本集まったら、まだゴムひもが一回しか通っていないストローにゴムひもを通します。

正20面体
ストロー3本で、正三角形を作ります。
ストローが5本集まったら、まだゴムひもが一回しか通っていないストローにゴムひもを通します。

5種類の正多面体の作り方のルールは、基本的には同じで、ストローの本数の値が違うだけです。そこで…
面の形を決めるストローの本数を
頂点に集まるストローのの本数を とすると、作り方のルールは次のようにかけます。

ストロー本で、正角形を作ります。
ストローが本集まったら、まだゴムひもが一回しか通っていないストローにゴムひもを通します。

の組み合わせは…
(3,3)…正4面体
(4,3)…正6面体
(3,4)…正8面体
(5,3)…正12面体
(3,5)…正20面体
こんな簡単なルールで、の組み合わせを変えるだけで、5種類の正多面体が全て作れてしまうなんて、ちょっと感動!です。
ストロー正多面体の作り方を図や写真で示すと、ちょっと難しく見えます。正12面体や正20面体の作り方を図や写真を見て覚えるのは(普通の人には)無理です。(この説明を書いている私だって覚えちゃいません(^^;)でも、上に書いた2つのルールは覚えられます。で、これだけ覚えておけば、ストロー正多面体やビーズ正多面体が作れるのです。
ストロー正12面体や正20面体を見て、それを作ろうとしたとき、複雑だな~と思うかもしれません。でも、その作り方を分析してみれば、たった2つのルールで作れてしまう…こういう抽象化の思考過程は、科学的・数学的な考え方の体験としてとても重要だと思っています。
子供たちにストロー正多面体を教えるときは、ただ作り方を教えるのではなく、正4面体→正8面体→正20面体…正6面体→正12面体の順に作って、正多面体に共通するルールを発見する体験ができるようにしていただけると、このページの作者としても嬉しいです(^_^)

※そうだ~とかとかいう記号を使って、何のメリットがあるのかと言うと~
の組み合わせを見ていて…「2とか6とかにしたらどうなるの?」と思いません?
思ったら、実際に試してみましょう。
こういう発想と、それを実際に試してみることは、科学的アプローチの体験として、これまた重要だと思っています。
「2とか6とかにしたらどうなるの?」かを試すことで、実は「正多面体が5種類しかない」ことの「証明」ができます。
※ 「正多面体はなぜ5種類しかないのか? 実験」もご覧ください。

※この記事の作成日は 2009/02/08
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

※関連記事
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2015/11/22 『ヒンメリカフェ』…東芝未来科学館でサイエンスカフェ

2017年10月22日 (日)

万華鏡の仕組み(合わせ鏡)

Mirrors01s Mirrors02s
万華鏡の作り方は「オブジェクトを変えられる万華鏡」で説明しましたが、でも何で万華鏡はあんな風に見えるんでしょうね?一つの模様/パターンを3枚の鏡で囲むと、そのパターンが無限に繰り返されるのはなぜでしょう?
「合わせ鏡」を見てみると、万華鏡の仕組みが分かってきます。

用意するもの
Mirrors00t
合わせ鏡分度器:合わせ鏡の性質を調べるための分度器です。上の画像をクリックして、開いたPDFを印刷してください。

Mirrors50
ポリカーボネイト・ミラー または 塩ビ・ミラー:1mm厚のミラー板を、7.5cm角に切ったものを2枚。万華鏡を作るときに使った0.5mm厚のミラーの残りを使ってもよい。
2枚のミラーをビニールテープでつないで、右の写真のように「合わせ鏡分度器」の上に置いて使います。※2枚のミラーの角度を色々変えて、合わせ鏡の性質を調べますので、0.5mm厚のミラーだと、ちょっとふにゃふにゃ(^^; なので、手に持ってミラーが歪んだりしない1mm厚のミラーを使っています。

Mirrors01t Mirrors02t
万華鏡説明用パターン:1つのパターンが無限に繰り返す様子を調べて説明するための用紙です。上の画像をクリックして、開いたPDFを印刷してください。

「合わせ鏡」を調べる
Mirrors00i
合わせ鏡を広げて「合わせ鏡分度器」の上の水平な線に合わせて、合わせ鏡のつなぎ目は分度器の中心に合わせて置きます。そして、2枚の鏡を折り曲げて、徐々に閉じていきます。すると・・・

Mirrors03
やがて、三角形が見えてきます。※この三角形は正三角形です。三角形が見えたときの2枚の鏡のなす角度は、360°÷3=120°です。

Mirrors04
さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は四角形(正方形)が見えてきます。※正方形が見えたときの2枚の鏡のなす角度は、360°÷4=90°(直角)です。

Mirrors05
さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は正5角形が見えてきます。※2枚の鏡のなす角度は(一応計算しておきましょう(^^;)、360°÷5=72°です。

Mirrors06
さらに合わせ鏡を閉じていくと、次は正6角形が見えてきます。
※正6角形が見えたときの2枚の鏡のなす角度は、360°÷6=60°です。この角度は一般の万華鏡のミラーの角度で、重要です。覚えておいてくださいね。

Mirrors07
さらに合わせ鏡を閉じていくと・・・もう分かってますよね。次は正7角形です。

Mirrors08
次は正8角形。

Mirrors10
・・・いっぱい(^o^)。合わせ鏡を閉じていくと、どんどん増えて、何角形?というより、だんだん「円」に近づいて行きます。

Mirrors11
中心をずらしてみると・・・おもしろいパターンが見られます。

さて、2枚の合わせ鏡の角度を変えると、鏡の中に映る数が変わることが分かりました。でも、2枚の鏡では、万華鏡の様に「無限」にはなりません。※合わせ鏡をピタッとくっつけて閉じると「無限」ですけど、見れないし~。2枚の鏡を離して平行に置けば「無限」ですけど、単調な繰り返しだし~

万華鏡の(3枚目の鏡の)秘密
2枚の(角度をつけた平行でない)鏡に映るのは「有限」の繰り返しです。でも万華鏡は、そこに3枚目の鏡を加えることで「無限」の繰り返しが現れます。どうして???
その仕組みを図解します。

Tri001
「万華鏡説明用パターン」の用紙です。虹色矢印が一つだけあります。用紙に敷き詰められている三角形は「正三角形」で、全ての頂点の角度は60°です。

Tri002
虹色矢印のとんがりのところに鏡を2枚置いてみます。図の黒い太線が鏡の位置です。この2枚の鏡の角度は60°です。先ほど合わせ鏡を調べたときに出てきた、正6角形を映し出す角度ですね。

Tri003
合わせ鏡に映って、こうなりますね。

Tri004
さて、3枚目の鏡の登場です。図の赤い太線が3枚目の鏡です。

Tri005
3枚目の鏡に映るのは…合わせ鏡に映っている6角形の虹色矢印です。すると右の図のようになります。

Tri006
次はまた2枚の合わせ鏡の方に戻って見てみましょう。合わせ鏡に映るのは、最初の虹色矢印だけでなく、3枚目の鏡に映っている6角形の虹色矢印も映ります。左の図の色の付いた部分が合わせ鏡に映るんです。

Tri007
前の図の色の付いた部分が合わせ鏡に映ると、右の図のようになります。(^o^)わ~!

Tri008
さて、そろそろ次の展開が予想できるかな? 今度は3枚目の鏡(図の赤い太線)の方から見てみましょう。3枚目の鏡(図の赤い太線)の上側=合わせ鏡の方に映っているのが、3枚目の鏡に映って下側に広がります。

Tri009
…というように、2枚の合わせ鏡と3枚目の鏡との間で互いに相手の鏡に映った像の反射を繰り返して、無限のパターンが現れるんですね~
※2枚の鏡を平行に向き合わせると無限に反射を繰り返すのは理解しやすいと思います。万華鏡の3枚の鏡も、2枚の合わせ鏡を「折れ曲がった一つの鏡」と考えれば「2つの鏡が向き合って互いに反射を無限に繰り返している」と考えれば分かり易いかな。2枚の平行な鏡の場合と違うのは、片方が「折れ曲がった一つの鏡」=合わせ鏡なので、そこで鏡像が増えるんですね~。

平面充填図形
2枚の平行な鏡では直線的な(1次元の)無限の繰り返しですが、3枚の鏡の万華鏡では平面を隙間なく埋め尽くす、2次元の無限の繰り返しです。
平面を隙間なく埋め尽くす図形を「平面充填図形」と言います。3枚の幅の等しい鏡を組み合わせてできる「正三角形」は平面充填図形です。正三角形以外の平面充填図形でも万華鏡は作れるのでしょうか? 調べて、実際に万華鏡を作ってみると、新しい発見があって、これがなかなか楽しいんです(^_^)
正三角形以外の万華鏡についての説明は Coming Soon?(いつになることやら(^^;)

※この記事の作成日は 2010/04/24
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

※関連記事
オブジェクトを変えられる万華鏡
ビー玉万華鏡

2017年10月19日 (木)

ビー玉万華鏡(Teleidoscope)

Ts18 Ts13
「万華鏡って、万もパーターンが変化します? 私は似たようなパターンしか出てこないので、すぐに飽きちゃいます」という不満から「オブジェクトを変えられる万華鏡」を作ったのですが、オブジェクトを取り替えるのが面倒で…(^^; オブジェクトをもっと簡単に変えられる方法はないものかしら?...ありました!万華鏡展に行って見つけたんですが、オブジェクトの代わりに先端にガラス玉を付けた万華鏡がありました。「テレイドスコープ(Teleidoscope)」です。テレイドスコープにはビーズなどのオブジェクトは付いていません。ガラス玉が外の世界を映し、ガラス玉に映った映像がオブジェクトになります。自分の身の回りに見えるもの全てがオブジェクトになるんです。だからオブジェクトの数は無限です。究極の万華鏡です(^O^)/

テレイドスコープ(Teleidoscope)は、テレスコープ(Telescope:望遠鏡)+カレイドスコープ(Kaleidoscope:万華鏡)の造語です。
カレイドスコープ(Kaleidoscope)は、ギリシヤ語の[kalos:美しい]・[eidos:形]・[skopeo:見ること] からきた造語。1816年にディヴィッド・ブリュースターが偏光の実験の途中で発明。

用意するもの
Ts01 Ts30
紙管:内径3cm,長さ20cm。紙管(しかん)とは、紙製の筒です。ここでは東急ハンズで買ってきた内径3cm長さ1mの紙管を、長さ20cm(5本)に切って使っています。
ビー玉:ここでは東急ハンズで買ってきた直径約3cmのビー玉を使っています。(計ってみたら29.5mm:B玉ですからサイズのばらつきはありますが、内径3cmの紙管にピッタリ!です。)
ビー玉万華鏡を作るには、紙管にピッタリはまるビー玉を探し出す必要があります。「オブジェクトを変えられる万華鏡」では、紙管にラップの芯も使えますと説明しましたが、ラップの芯でビー玉万華鏡を作るには、ラップの芯にピッタリはまるビー玉を探すのが問題です(^^;;
ポリカーボネイト・ミラー または 塩ビ・ミラー:0.5mm厚のミラー板を、幅24mm,長さ18.5cmに切ったものを3枚。20cmの紙管の先端に直径3cmのビー玉を取り付けますから、ミラーの長さはビー玉の半径(1.5cm)分引っ込めて、18.5cmとなります。ポリカーボネイト・ミラーは東急ハンズで買ってきました。45cm×30cm(0.5mm厚)のものが\1,300ぐらいです。塩ビ・ミラーだとその半額ぐらいでした。
カッターカッティングマット定規:紙管とミラーを切るのに使います。
ビニールテープハサミ:鏡を三角形に貼り合わせるのに使います。
両面テープ:ビー玉が紙管から外れないようにするために使います。

作り方
紙管の切り方,ミラーの切り方と組み方については「オブジェクトを変えられる万華鏡」を参照してください。
Ts03 Ts02
ビー玉を紙管にはめ込みます。ちょっときつめでピッタリはまれば、そのままでかまいません。
ゆるくて、ビー玉が紙管の中をコロコロ転がるようであれば、紙管の端の内側に両面テープを貼り、両面テープの紙を剥がして糊面を出した状態で、ビー玉を反対の端から入れて転がすと、両面テープのところでビー玉がピタリと止まります。(今回使っている紙管とビー玉の組み合わせの場合はそうなります。)
Ts04
後は、三角形に組んだミラーを紙管に入れれば、ビー玉万華鏡の出来上がり~(^^)/ 外見はいたってシンプルな万華鏡です。

覗いて見よ~
Ts40
二段目の緑色にちょっとピンクは、オシロイバナ
三段目の赤いのは、曼珠沙華
三段目の水色は、青空
外に出て、ビー玉万華鏡を覗くと…なかなか楽しいです(^o^)
※注意※ビー玉万華鏡で太陽を見てはいけません。目を痛めます。
それから、外でビー玉万華鏡を見るときは、夢中になって…交通事故、なんてことにならないように気をつけてください。
一段目・左から三番目は映像がかなりゆがんでいますが、これは三角形のミラーの端をビー玉に強く押しつけて、三角形のミラーがゆがんでいるためです。
…だと思ったんですが、これは間違いでした(^^; この画像、部屋の中から障子の桟を見ているのですが、改めてビー玉万華鏡で覗いてみたら、鏡の正三角形の境界は真っ直ぐで、鏡はゆがんでいませんでした。でも画像はゆがんでいます。じゃ、この歪みはなんだろう?…「歪み」あ~!これは(カメラの評価記事などで見かける)「歪曲収差(ディストーション)」ってやつですね。たぶん。ビー玉は魚眼レンズみたいなもんですから、真っ直ぐな障子の桟がこんな風に歪むんですね。

発見! ビー玉万華鏡をビー玉の方から見たら… お~!キレイ
Ts41
万華鏡の映像がビー玉の表面に投影されています。プロの万華鏡作家の展示会などを見に行くと、このタイプの作品が展示されていることがあります。もっと大きなガラス玉を使って、ミラー部分は台座に隠されて、ミラー/オブジェクトをモーターで回転させて、ガラス玉に投影される映像がゆっくり動いていたりしますが… 基本的な仕組みは、ビー玉万華鏡と同じです。

万華鏡の仕組み
万華鏡の仕組みはどうなってるの?と思ったら、こちらをどうぞ
万華鏡の仕組み(合わせ鏡)

※この記事の作成日は 2009/11/07
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

※関連記事
2015/11/01 サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』準備中~
2015/11/03 サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』準備中~(その2)
2015/11/08 サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』準備中~(その3)
2016/10/22 サイエンスアゴラ2016『作って楽しむ万華鏡の不思議』準備中~

 

2017年10月10日 (火)

オブジェクトを変えられる万華鏡(Kaleidoscope)

Ks19 Ks22
オブジェクト【object】とは「物、目標物、対象という意味の英単語」で、万華鏡のオブジェクトとは、鏡を通して見る対象物(色とりどりのビーズ等)のことをいいます。
万華鏡って見てると綺麗で、より綺麗なパターンを見つけたときなんかは楽しいですよね(^o^) ところで、万華鏡って、万もパーターンが変化します? 私は似たようなパターンしか出てこないので、すぐに飽きちゃいます(^^;
オブジェクトが赤系のビーズなら、赤系のパターンしか出てこないし~ 他の色も見たい~と思ったらどうすりゃいいの?
そうだ!オブジェクトを変えられる万華鏡を作ればいいんだ~(^o^)v

万華鏡の中はどうなってるの?
Ks01 Ks02
万華鏡の作り方を知ろうと思ったら、どうします? 今ならインターネットで「万華鏡の作り方」で検索すればすぐわかりますね。でも他にも方法はあります。「分解してみよう!」です。分解するって、物の仕組みを調べるときの基本的な手段の一つですし、色々な発見があって、実は楽しいです(^_^)

Ks03 Ks04
分解してみました(^o^)v 覗き穴の金物の脇にカッターの刃を当てて、ぐるぐるカッターを回すと…本体の紙管と切り離せました。中から出てきたのは… 三角形のボール紙の中にピタッと収まった金属板が3枚。この金属板が鏡です。普段みなさんが見てる鏡はガラスの裏面に金属を塗ったものですが、分解したような価格の安い万華鏡ではガラスの鏡は使いません。

実は私、万華鏡の分解は今回で2回目でして… 今回分解した万華鏡は、写真撮影するために買ってきて分解しました。以前(数年前)に分解した同じタイプの万華鏡では、鏡は金属板でなく「銀紙」でした!「へ~!銀紙でも鏡の代わりになるんだ~。なるほど、銀紙ならコストダウンできるよね~」と分解して感心してました。(こういう発見が「分解してみる」楽しさです(^o^)

さて、鏡以外は…覗き穴の反対側にあったのが、ビーズやセロファンやリリアン等が入った「オブジェクト」です。丸い透明なプラスチックの皿に入っていて、丸いすりガラスでピッタリとふたされていました。

ん~万華鏡を自作するには、鏡とオブジェクトの入れ物をどうするか?これが一番問題ですね~

用意するもの
Ks05 Ks06
紙管:内径3cm,長さ20cm。紙管(しかん)とは、紙製の筒です。ここでは東急ハンズで買ってきた内径3cm長さ1mの紙管を、長さ20cm(5本)に切って使っています。ラップの芯を使うこともできます。(ラップの芯を使う場合は、ラップの芯の内径に合わせてミラーの幅を計算する必要があります。計算方法は後で説明しています。)
ポリカーボネイト・ミラー または 塩ビ・ミラー:0.5mm厚のミラー板を、幅25mm,長さ20cmに切ったものを3枚。ポリカーボネイト・ミラーは東急ハンズで買ってきました。45cm×30cm(0.5mm厚)のものが\1,300ぐらいです。塩ビ・ミラーだとその半額ぐらいでした。(どちらを使っても良いのですが、ここでは「鏡の中のサッカーボール」を作ったときに使ったポリカーボネイト・ミラーを使っています。右の写真で、2枚の銀色がポリカーボネイト・ミラーの鏡面、1枚の水色がポリカーボネイト・ミラーの裏面です。)
カッターカッティングマット定規:紙管とミラーを切るのに使います。
クリームケース透明:100円ショップで見つけました!外径3.5cmぐらいの丸い透明なケースで、ねじ式のフタを開閉できますから万華鏡のオブジェクト入れにぴったりです(^o^)v このケースがないと「オブジェクトを変えられる万華鏡」になりませんので、100円ショップや雑貨屋さんを歩き回って見つけてくださいな。
色とりどりのビーズ:万華鏡のオブジェクトになる色とりどりのビーズは、好みに合わせて用意してください。100円ショップや手芸用品店で売ってます。
ビニールテープハサミ:鏡を三角形に貼り合わせるのに使います。

作り方
Ks08
紙管は普通1mの長さで売ってますから、これを20cmの長さにカッターで切ります。紙管を切るには… 紙管の周りにやや厚めの紙(古雑誌の表紙を幅4cmぐらいに切って使っています)を巻き付け、その紙を定規代わりにして、カッターでグル~と一周切り傷を付けます。ちょっと違った…カッターの方は固定しておいて、紙管の方をグル~と一回転させます。後はその切り傷をなぞって紙管を数回転させれば、紙管を切ることができます。
※ラップの芯を使う場合は… ミニタイプ(幅22cmくらい)のものならそのままの長さでOKです。幅30cmのラップの芯の場合、30cmではちょっと長すぎる(ミラーが余計に必要になる)ので、20cmの長さに切ります。

人間の目が楽にピントを合わせられる距離は30cmぐらいかららしいですので、30cmの紙管でもいいのですが、20cmでも普通の人には十分見えますから、材料節約のために紙管の長さ=ミラーの長さを20cmにしています。最初に分解した万華鏡の長さは15cmでした。15cmだと、老眼の人にはピントを合わせるのがちょっと厳しかったりします(^^; でも、もっと短い万華鏡もありますよね~ そういう万華鏡は覗き穴のところにレンズが付いていて、短くてもピントが合うようになっています。

ポリカーボネイト・ミラー または 塩ビ・ミラーを、幅25mm,長さ20cmで3枚、カッターで切り出します。このミラーのサイズは、紙管の内径が30mm,紙管の長さが20cmの場合です。ラップの芯を使う場合や、太さの違う紙管を使う場合は、使う紙管の内径に合わせてミラーのサイズを調整する必要があります。
ミラーの長さ=紙管の長さ ですから、こっちは問題ありませんね。では、ミラーの幅は?
万華鏡のミラーは、紙管に内接する正三角形ですから、その正三角形の一辺の長さは?...
ミラーの幅 = 紙管の内径 × cos(30°) ≒ 紙管の内径 × 0.866
です。内径30mmの紙管だと… 30mm × 0.866 ≒ 25.98mm となります。これは紙管にピッタリ収まる正三角形の一辺の長さですから、この通りのサイズにすると(ミラーを三角形に貼り合わせるビニールテープの厚さとかが加わって)紙管の中に三角形に組んだミラーが入らなくなってしまいます。ですから、小数点以下は切り捨てて、25mmぐらいが実際のピッタリサイズになります。

※内径24mmのラップの芯を使う場合は… 24mm × 0.866 ≒ 20mm となります。

高校生以上の人で、数学の三角関数(サイン,コサイン)で躓いて…「日常生活で三角関数を使うことなんてないから、三角関数なんて分からなくても平気だ~」と自分を納得させていた人へ…
上記の式の中に出てくる cos(30°)は、三角関数のコサインです。万華鏡を自作するのが「日常」かどうかは微妙ですが、三角関数は万華鏡作りに「役立つ」んです~(^^)v
あ~、万華鏡を作らなくても、あなたはたぶん毎日三角関数を使っています。携帯電話で通話するとき、デジカメで写真を撮るとき、DVDを見るとき… 実は三角関数をバンバン使っているのです。(興味があったら「離散コサイン変換」で検索してみてくださいな。あ、ヒットするページが専門的すぎて…見ない方がいいと思います(^^;)
何が言いたかったかと言うと「三角関数は日常生活でとっても役立っているんだよ」ってことです。

長々書いてしまいましたが、紙管とミラーが準備できたら、後は比較的簡単です。
※科学体験クラブのイベントで子供たちに万華鏡を作らせるときは、紙管とミラーの準備はこちらで済ませ、これ以降の組み立てるところを子供たちにさせています。
ビニールテープをミラーの幅の4倍(25mm×4=10cm)の長さに3枚切り、ミラーの裏側に写真のように貼ります。
Ks10
ミラーの表面とビニールテープの糊面を上にして、テーブルの上に置き、1枚目のミラーの隣に2枚目のミラーを立てて置き、パタンと向こう側に倒します。すると、1枚目のミラーと2枚目のミラーの間に0.5mmの隙間ができます。この隙間はミラーを三角形に組むときに必要な隙間です。
Ks11
3枚目のミラーも同じように、2枚目のミラーの隣に3枚目のミラーを立てて置き、パタンと向こう側に倒します。
Ks12
3枚のミラーが0.5mmの隙間を空けてビニールテープの上に並んだら… ミラーの鏡面に貼ってある保護シートを剥がします。すると、キレイな鏡面が現れます。ここで鏡面に手を触れて鏡面を汚さないように気をつけましょう。
Ks14
ミラーを三角形に組み立てます。
Ks15
三角形に組み立てたミラーを紙管の中に入れます。三角形に組んだミラーが紙管に対してスカスカで、簡単に飛び出してしまうようだったら、ビニールテープを二重に巻いて、三角形に組んだミラーが紙管の中にピッタリ入るように調整しましょう。※このとき、既に巻いてあるビニールテープにピッタリ重ねてビニールテープを二重に巻くと、ビニールテープが紙管の端に引っかかり入らなくなることもあるので、2枚目のビニールテープは1枚目のビニールテープに対して半分ずらして貼りましょう。(写真では赤のビニールテープを貼っていますが、これは2枚のビニールテープを見分けやすくするためで、色を変える必要はありませんから)
Ks16c
オブジェクトを入れる透明ケースを紙管の端にビニールテープで貼り付けます。透明ケースのフタを外して、フタの部分だけをビニールテープで紙管の端に巻き付けます。
Ks17
透明ケースにお好みの色のビーズを入れて取り付ければ、万華鏡の完成です(^o^)/~
覗いてみましょう。ほ~らキレイ(^_^) オブジェクトを入れ換えれば、色んな色の万華鏡を楽しめます。
Ks18 Ks19_2

Ks21 Ks23 Ks24

さらに…
ビー玉万華鏡も作ってみよう⇒ビー玉万華鏡
万華鏡の仕組を知ろう⇒万華鏡の仕組み(合わせ鏡)

※この記事の作成日は 2009/10/25
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。

※関連記事
2015/11/08 サイエンスアゴラ2015『作って楽しむ万華鏡の不思議』準備中~(その3)
2016/10/22 サイエンスアゴラ2016『作って楽しむ万華鏡の不思議』準備中~

2017年10月 8日 (日)

皇帝のキーボード『階差』カイザー2@新宿オカダヤ『蒸気市場』

STEAMPARK(スチームパーク)というイベントを10/7~9の3連休、歌舞伎町シネシティ広場でやっているとTwitterで知り、行ってきました~
メイン会場の歌舞伎町シネシティ広場の他に、オカダヤでもやってるので新宿駅から歩いていく途中だから、まずはオカダヤ7F『蒸気市場』へ…

そこに展示されていた↓このキーボード!
Kaiser2_171008a
お~!素晴らしい~w(*゚o゚*)w
スチームパンクキーボード・階差Ⅱ(カイザー2)は蒸気社のニューモデルです。
皇帝(Kaiser)の名にふさわしい豪華かつ優美な外観。
ガラス製のキートップに階差機関の歯車が特徴です。』
Kaiser2_171008b
林立する歯車の並びに萌える~!(^o^; って、どこに萌えるかと言いますと…
これ↓階差機関(一号機)
Babbage_difference_engine_drawing
機械式計算機の先駆けとなったチャールズ・バベッジ階差機関です。
この「歯車いっぱい!」の階差機関を彷彿とさせるデザインのキーボード階差Ⅱ(カイザー2)
より詳細にご覧になりたい方はこちらのページをどうぞ…
皇帝の名を持つ、階差機関のスチームパンクキーボード・階差(カイザー)|スチームパンク大百科S
このページの画像…美しい~
36個の回るギアによる階差機関デザイン』なんて必見ですよ!
もっと「歯車いっぱい!」をご覧になりたい方は、階差機関-Wikipediaの『サイエンス・ミュージアム(ロンドン)にある階差機関のクローズアップ。』をご覧ください。

皇帝の名を持つ、階差機関のスチームパンクキーボード・階差(カイザー)は初代で、新宿オカダヤ『蒸気市場』に展示されていたのは階差Ⅱ(カイザー2)でした。どこがバージョンアップしているのかな?
あ、ここだ↓
Kaiser2_171008c
スペースキーのキートップに歯車が3つ仕込まれています!
こういう遊び心を探すのがスチームパンク作品鑑賞の楽しみですね(^o^)

もう一品ご紹介… 階差Ⅱ(カイザー2)キーボードの隣にあったのが、
ディファレンスエンジン計算機・炎算(ENZAN)
Enzan171008a
炎算』という名前がとってもイイですね~(^o^)
ディファレンスエンジン:difference engine=階差機関です。

以上の作者は、五十嵐麻理さん。
あ!Wikipadiaにも出てる。⇒五十嵐麻理 - Wikipedia
『読書好きであり、小学校時代は学校の図書室の蔵書を全巻読破している。現在でも年間1000冊の読書量をこなす。』へ~!それなら「階差機関」を知っていることも頷ける。
※スチームパンク作品は単に形や雰囲気だけじゃなくて、その背後にしかっりした「知識」があり「物語」があることが大事だと私は思うんですよ。単に歯車をそれらしくくっつけただけじゃ・・・(そういう作品が多い中、オカダヤ『蒸気市場』に展示されている作品たちは、ちょっとレベルが違ってた。)

※スチームパークは10/7~9の3連休だけですが、新宿オカダヤの『蒸気市場』の展示は10/31までやっています。

※関連記事
2013/10/07 スチームパンク東方研究所…この世界観がイイ~

2017年10月 7日 (土)

「むさし府中ビール祭り」@大國魂神社境内

2017/10/07(土) 第2回「むさし府中ビール祭り」が大國魂神社境内にて開催されました。
Mfuchubeer171007
去年、私は第1回「むさし府中ビール祭り」の終了時間17:00に大國魂神社の前を通りかかり、何やってんだ?と見れば…「こんなイベントをやってたんだ~! クラフトビール 飲みたかった。。。」と非常に残念な思いをしたので、今年こそ!と、前売り券を買ってその日を待つ。
ところが、前日(金)夜から雨予報rain。え~(´Д`)
(土)午前中は雨予報だけど、午後は曇り予報cloud。なんとかなりそうね。
そして、(金)夜の雨音は激しかったけど、(土)朝にはあがってた(^o^)v
ビール祭りは11:00~だけど、昼頃までYahoo!天気の雨雲の動き見てると微妙~
でも昼から空も明るくなってきたので、13:00~参戦!
大國魂神社に行ってみたら、完全に出遅れ…
Mfuchubeer171007a
人いっぱい!
テーブル空いてないよ~
何とかテーブルの空きを見つけ、場所キープ。
以下、この日飲んだクラフトビールです。

所沢ビール
Mfuchubeer171007b1
3355 燦々午後(session Pale Ale)爽やかなアロマに酸味、低アルコールでもしっかりとした風味(3.5%)
※「むさし府中ビール祭り」には百銘柄ほどのビールが出品されています。事前にビールリストを検討して「これを飲むゾ!」とか決めてないから、その場で主にネーミングで選びます。「燦々午後」イイ名前ですね~(^o^)

多摩の恵(石川酒造)
Mfuchubeer171007c
TOYODA BEER
(アンバーラガー)深いコクと香味、ホップ由来のフローラルな香り(5.0%)

府中バカのBEER
Mfuchubeer171007d2
地元のビールだから一度は飲んでおきたかった。
くらや味スタウト ←特にこのネーミングに惹かれる。
試作IPA
出展ブルーワーの中でも一番零細って感じ。手作り感満載。「試作IPA」って?まだ試作中だけど、ちょっと良くできたから持ってきたらしい。

風上麦酒製造
Mfuchubeer171007e
崇高な侵略者(ベルジャンIPA)花や果実の甘い香りと強烈なホップの苦味のバランス(9.0%)
月下の願い(スコッチ・エール)高貴な甘く重い香りを、月桃によってさわやかに仕上(8.0%)

ネーミングがイイですね~(^o^)
他に「無意識の承認」「慢性的賛歌」と言うビールもあって、次回はこれも…
アルコール度数が高くて、苦みが強くて、すごくインパクトの強いビールでした。
ここでアルコール度数高めに慣れたので、次も度数高めで…

10ants Brewing
Mfuchubeer171007f
HOPPY FAMILY(American IPA)柔らかい口当りとキリッとしたホップの苦みと爽やかな柑橘系の香り(6.1%)
Castle in the sky(Double IPA)しっかりとしたボディがホップの苦みとのバランス(7.3%)

カミカゼビール
Mfuchubeer171007g
クリームエール 色合いは淡く、口当たりはスッキリと爽やかでやさしい風味(5.0%)
アルト 麦のほんのり甘い香り、苦味は抑えめ(5.0%)
※最後は一転してノーマル系で。
ここまでビール飲む方に集中してて、ビールの写真を撮ってなかった(^^;
8杯飲んで心にゆとりが出てきたので、最後の2杯の写真を撮りました~
Mfuchubeer171007h
ビールの向こう側に、たまたま写った腕に緑のリストバンドを付けてますが、チケットを買って入場すると、腕にこのリストバンドを付けられます。チケットは1枚300円で5枚綴り。チケット1枚で、小さなコップ1杯(およそ150ml)です。最初は、このコップじゃ小さいよ~と思いましたが、10杯も飲むとこの小さなコップで十分です。10種類飲んでも、まだ10/100です。まだ飲んでない90種類は… 次回… いや、1年待つのは長すぎる。。。

ところで、リストバンドの緑色はケヤキの葉の緑をイメージしたんでしょうね。
あ、そうだ!ビールの写真、テーブルの上に置いて撮るんじゃなくて、手に持って掲げて、ケヤキの葉の緑をバックに撮るんだった。(次回の課題(^o^)

※「ビール」の関連記事
2012/06/16 キリン横浜ビアビレッジ工場見学でフローズンビール(^o^)/~
2013/08/02 立川オクトーバーフェスト2013でPROST!!
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2016/11/26 『よなよなの月』に舞妓が宙を舞う?

※「大國魂神社」の関連記事→検索結果

2017年9月30日 (土)

正多面体はなぜ5種類しかないのか? 実験

正多面体は5種類しかありません。
なぜ5種類しかないのか?それを「実験」で確かめましょう(^^)/~

Regularpolyhedra

※正多面体が5種類しかないことの「証明」は、普通は数学的に「整数不等式」を使って行いますが、まだ数学を学んでいない小学生や、もう数学は忘れてしまった大人のために…「実験」で確かめるのが一番納得できる方法だと思いますので、興味のある方は試してみてくださいな。
この記事の最後でオイラーの多面体公式による証明も載せてます。


用意するもの
Polygons_pdf 正多面体はなぜ5種類しかないのか?実験用 正多角形セット…こちらのPDFを開いて、ちょっと厚めのA4の紙に印刷します。この用紙から、正三角形:6枚,正方形:4枚,正五角形:4枚,正六角形:3枚を切り出して使います。
Polygons

Whyonly5polyhedra_pdf 正多面体はなぜ5種類しかないのか?調査用紙…こちらは普通紙に印刷します。
ハサミ または カッター,定規,カッティングマット:正多角形セットを切るのに使います。
セロテープ:正多角形を並べて貼るのに使います。


やってみよう~

Pp33 Pp33p Pp33q
正三角形を3枚並べてセロテープで貼ります。それを三角錐の形にすると、多面体の頂点ができます。これで作れるのが正4面体

そこで「調査用紙」の「正三角形/3枚」の欄に○を書きます。
正三角形が2枚では立体が作れないことは分かりますよね。「正三角形/2枚」の欄に×を書きます。
Whyonly5polyhedra_answering
このように正多角形何枚で多面体の頂点が作れるかどうかを調べていきます。
次は…

Pp34 Pp34p Pp34q
正三角形/4枚では… 頂点が作れます。これで作れるのが正8面体

Pp35 Pp35p Pp35q
正三角形/5枚でも… 頂点が作れます。これで作れるのが正20面体

Pp36
正三角形/6枚では… 平らになってしまうので、頂点は作れません。
6枚でダメだから、7枚以上でもダメですね。

Pp43 Pp43p Pp43q
正方形/3枚では… 頂点が作れます。これで作れるのが正6面体(立方体)

Pp44
正方形/4枚では… 平らになってしまうので、頂点は作れません。
4枚でダメだから、5枚以上でもダメですね。

Pp53 Pp53p Pp53q
正五角形/3枚では… 頂点が作れます。これで作れるのが正12面体

Pp54
正五角形/4枚では… 4枚並べられないので、頂点は作れません。
4枚でダメだから、5枚以上でもダメですね。

Pp63
正六角形/3枚では… 平らになってしまうので、頂点は作れません。
つまり正六角形では正多面体は作れません。
正七角形以上でも正多面体は作れませんね。

…さて、調査用紙の結果を見てみましょう。
Whyonly5polyhedra_answer
○の数は5つ。だから、正多面体は5種類しかないんです(^_^)v


「整数不等式」を使っての証明
数学を忘れかけている(私も含めた)大人のために、参考までに「整数不等式」を使っての証明を示します。
ちょっと復習しておこうかな…という方、どうぞ↓

正多面体の各面を正 p 角形、正多面体の頂点に集まる面の数を q とする。
一般にp角形の内角の和は、(p - 2)×180°である。
Polygontrianglediv
p角形の一つの頂点と各辺を結んで、p角形内に (p - 2)個の三角形ができるから)
三角形の内角の和は180°なので、
p角形の内角の和は、(p - 2)×180°となり、
p角形の各頂点の内角は (p - 2)×180°/p となる。

正多面体の一つの頂点には q個の正p角形が集まるので、
このq個分の角の和は ((p - 2)×180°/p)× q
これは360°より小さいはずである。
(360°では平面になって、立体にならないから)
よって、以下の不等式が成り立つ
 ((p - 2)×180°/p)× q < 360°
この不等式を整理すると
 (p - 2)(q - 2) < 4 となる。

この不等式を満たす整数 pq の組み合わせは、以下の5種類のみである。
(3, 3) … 正4面体
(3, 4) … 正8面体
(3, 5) … 正20面体
(4, 3) … 正6面体
(5, 3) … 正12面体

…いかがでしょう?
正多角形を切った貼ったする「実験による証明」より、 整数不等式を使った「数学的証明」の方が「エレガント」だと思います?
小学生や(数学に縁遠い)一般の人が「納得できる」のは「実験による証明」だと思うのですが…
「数学的証明」の方は素直に納得できませんよね。それは、この証明の中に「そんなこと分かってるでしょ~。そこは自分で考えなさいよ~」と、説明をはっしょっている箇所が3つもあるからです。その3つは…

・三角形の内角の和は180°なので、
・この不等式を整理すると (p - 2)(q - 2) < 4 となる。
・この不等式を満たす整数 pq の組み合わせは、以下の5種類のみである。

…これら3点を以下説明します。
三角形の内角の和は180°なので、
これは「幾何学を勉強したなら、そんなこと常識よ~」ってことで、説明省略(^^;
まぁ、せっかくなので図だけ載せときますね。
Triangle180

この不等式を整理すると (p - 2)(q - 2) < 4 となる
これは「そこは自分で計算しなさいよ~」って部分。私も計算してみた…

((p - 2)×180°/p)× q < 360° 両辺を180°で割る
((p - 2)/p)× q < 2 両辺に p を掛ける
(p - 2)q < 2p (×は省略)左辺を展開
pq - 2q < 2p 右辺を左辺に移項(両辺から 2p を引く)
pq - 2q - 2p < 0 左辺を因数分解できるように、両辺に4を加える
pq - 2q - 2p + 4 < 4 左辺を因数分解
(p - 2)(q - 2) < 4

…書き出してみると、数学に縁遠い人には簡単じゃないよね(^^;

この不等式を満たす整数 p とq の組み合わせは、以下の5種類のみである。
pの値が 1,2,3,4,5,6,…のとき、
qの値がいくつだったら不等式が成り立つかを一つずつ調べていく…
pは正p角形の値なので p ≧ 3 である。pの値が 1 と 2 の場合は対象外。図形で考えれば、正1角形とか正2角形はありえない。
pの値が 3 (正三角形)の場合は、qの値が 3 と 4 と 5 で不等式が成り立つ。
pの値が 4 (正方形)の場合は、qの値が 3 で不等式が成り立つ。
pの値が 5 (正五角形)の場合は、qの値が 3 で不等式が成り立つ。
pの値が 6 以上の場合は、(p - 2)の値が 4 以上になり、不等式は成り立たない。

あれ、あれ~! これって「実験による証明」でやったことと同じじゃありませんか~!
「実験による証明」では、正多角形を描いて、切って、貼って…という手間がかかりましたが、
「数学的証明」では、(p - 2)(q - 2) < 4 という整数不等式を導き出す/理解するのに手間がかかり…(^^;
どっちが簡単?っていうと、数学の基礎を勉強していなくてもできる「実験による証明」の方が簡単?
いえ、いえ、そんなことはありませんよ!
「実験による証明」の方では、数学的に難しい部分を既にこちらで用意済みだったのです。
「実験による証明」を自分で一からやるには、まず正三角形、正方形、正五角形、正六角形を描く必要があります。
正五角形をどうやって描きます? それにはやっぱり数学/幾何学を勉強していないといけないのです。


正多面体が5種類あることは石器時代の人も知っていた
「正多面体」で検索すると「プラトンの立体」って言葉が出てきますが、プラトンさんが正多面体を見つけたわけでも、5種類しかないことを証明したわけでもありません。(詳細は自分で調べてね。)
そんなことより、「正多面体」で検索していて見つけたこのページ↓
Neolithic Carved Stone Polyhedra(新石器時代の多面体の石玉)
お~すごい!新石器時代に5種類の正多面体に相当する石の玉を作っていたんですよ~!!
5種類しかないことを証明はしてないでしょうが、5種類あることは知っていたんですよ~

あ、上で紹介したページは英語のページで、「正多面体」で検索して出てくるわけないですね。
「正多面体」で検索して見つけたページはこちら→「新石器時代の多面体
このページの中に『スコットランドでの「手作業による発見」が, ギリシャでの「数学的研究」をはるかに先行しているが…』という記述がある。ん、ん、「手作業による発見」いい言葉ですね~(^_^)

このページでやっている「実験による証明」は、2008/01/26に府中グリーンプラザで、
ふしぎ発見科学教室「正多面体ペーパークラフト~正多面体はなぜ5種類しかないのか?実験」をやったときの内容ですが、そのときの狙いは「手作業による発見」みたいなこと。
自分で手を動かして、自分で何かを発見する。という体験は長く記憶に残りますからね(^_^)v

正多面体が5つ存在し、5つしか存在しないことを証明したのは、古代ギリシャの数学者テアイテトスだそうです。
正多面体が5種類だけであることを証明したのはテアイテトス

※この記事の作成日は 2012/03/25
~.dion.ne.jp/~kagaku というサイトに載せていましたが、ホームページサービス(dion.ne.jp)が利用者減少のため2017/10/31で終了するので、ホームページのコンテンツをブログに移しました。



※関連記事
2012/03/25 正多面体はなぜ5種類しかないのか?
2012/04/04 正多面体が5種類あることは石器時代の人も知っていた
2017/03/17 RikaTan 2017年4月号…ニセ科学を斬る!2017 ←「正多面体はなぜ5種類しかないのか?」を説明するとき、オイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)を使って説明するのって「権威を押し付けている」んじゃね?と思うところがあって、特集『ニセ科学を斬る』の回の連載を『正多面体はなぜ5種類しかないのか?実験』にしました。

この記事を書いたときに編集メーリングリストに投げだメモ…
この記事でお伝えしようとしていることは、
科学イベントなどで「正多面体はここにある5種類しかありません。」というお話をして「え!ほんとに?」という反応をした人に、3分間で「納得できる」説明をする方法です。
説明する相手は小学生とその親です。
数学を学んでいない小学生、または、かつて数学勉強したけど大人になってから一度も「因数分解」なんてする必要に迫られたことないから…数学を忘れてしまった大人に対して、いかに説明するか?

サイエンスコミュニケーションしていて相手が「なぜ?」と反応したときは、それを伝える絶好のチャンスです。
そして、その答えは3分以内でが経験則。
30分かけて数学的な証明を説明することはできません。相手は学校に来ている学生ではないから。
イベントを「楽しむ」ために来ている人たちですが、科学イベントなので「知的好奇心」があって来ています。
そういう人が「なせ?」と思ったときに、相手が「納得できる」説明ができると、「アハ!」となって(たぶん脳内ではドーパミンが分泌されて)「楽しかったね~」という記憶と共に「科学のタネ」が植えつけられます。
「なぜ?」から3分以内に「アハ!」体験に結びつける。←ここが重要です。
私は子供に分かりやすく説明すると同時に親に対しても語りかけています。
子どもと一緒に科学イベントに来た親が、アハ!体験から「科学って楽しい~」と思ってくれれば、その後で自分の子供に対してより科学に親しむようなアクションをしてくれること期待できますよね。

私が「オイラーの多面体公式」を使って正多面体が5種類しかないことを説明しないのは、こういった背景・経験によるものです。
例えば、オイラーの多面体公式を使っての証明をざっくり書くと次のようになります。

オイラーの多面体公式」を使っての証明

オイラーの多面体公式 V - E + F = 2 (V:頂点数、E:辺の数、F:面の数)
F個の正p角形の辺の数は pF、1つの辺は2つの面に属するので pF=2E ⇒ F=2E/p
V個の頂点に q本の辺が集まり、1つの辺は2つの頂点を結ぶので、qV=2E ⇒ V=2E/q
これらを V - E + F = 2 に代入して E のみの式にすると
2E/q - E + 2E/p = 2
両辺を E で割ると
2/q - 1 + 2/p = 2/E
右辺は正なので左辺も正
2/q - 1 + 2/p > 0
この不等式を整理すると
(p - 2)(q - 2) < 4 となる。

この分量ならA4の紙1枚に書いておけます。
でも、これを1行1行相手に納得してもらいながら、3分で説明することはできるでしょうか?
説明する前に「説明は結構です」と断られる可能性大ですね。
数式見ただけで拒絶反応という人が結構いますから。

私がこの説明を受けたら、次の質問をしますね。
なんで「この不等式を整理すると (p - 2)(q - 2) < 4 となる」のですか?
それは~

2/q - 1 + 2/p > 0
ちょいと移行して、
2/q + 2/p > 1
両辺にpqを掛けて
2p + 2q > pq
またちょいと移項して
pq -2p -2q < 0
両辺に4を加えて
pq -2p -2q + 4 < 4
左辺を因数分解して
(p - 2)(q - 2) < 4 となる。

この計算の最後に「因数分解」します。
因数分解で数学苦手になった人 多いようなので、人によっては「数学苦手」のトラウマを引き出してしまうかもしれません。
せっかく「なぜ?」と興味を持ってくれたのに、興味が一気にしぼみ「なんだか分からなかった…」という残念な結果になりかねません。
よしんば因数分解をクリアできたとしても、次に「なぜ V-E+F=2 が成り立つのですか?」というラスボスが立ちはだかっています。

私が目指すところは、多くの人に納得してもらえる説明をし、アハ!体験で「科学って楽しい~」という記憶を植え付けることです。
説明が難しいことでも、それを分かりやすく説明する努力は怠りませんが、現実的に無理なら説明はしません。代わりに「きっかけ」を与えられればそれでいいと思っています。

※さらに関連記事
2016/02/19 世界で二番目に美しい数式 V-E+F=2

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